Упр.31.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=v(2x-5); б) y=-2v(2x+3)?
а) Пусть график функции $$y=\sqrt{2x-5}$$ касается прямой $$y=ax-2$$ в точке с абсциссой $$x_0$$. Тогда угловой коэффициент касательной равен производной:
$$y'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-5}}=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}.$$
При касании
$$\frac{1}{\sqrt{2x_0-5}}=a.$$
Отсюда
$$\sqrt{2x_0-5}=\frac{1}{a}, \qquad 2x_0-5=\frac{1}{a^2},$$
$$x_0=\frac{5}{2}+\frac{1}{2a^2}.$$
Координата точки касания удовлетворяет уравнению прямой и графика функции:
$$y_0=\sqrt{2x_0-5}=\frac{1}{a}.$$
Подставим в уравнение касательной:
$$\frac{1}{a}=a\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2a^2}\right)-2.$$
Упростим:
$$\frac{1}{a}=\frac{5a}{2}+\frac{1}{2a}-2,$$
$$\frac{1}{2a}-\frac{5a}{2}=-2,$$
$$1-5a^2=-4a,$$
$$5a^2-4a-1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-1)=36,$$
$$a=\frac{4\pm 6}{10}.$$
Получаем:
$$a_1=1,\qquad a_2=-\frac{1}{5}.$$
б) Для функции $$y=-\sqrt{2x+3}$$ имеем
$$y'(x)=-\frac{1}{\sqrt{2x+3}}.$$
При касании
$$-\frac{1}{\sqrt{2x_0+3}}=a,$$
значит
$$\sqrt{2x_0+3}=-\frac{1}{a}, \qquad 2x_0+3=\frac{1}{a^2},$$
$$x_0=\frac{1}{2a^2}-\frac{3}{2}.$$
Тогда
$$y_0=-\sqrt{2x_0+3}=\frac{1}{a}.$$
Подставим в уравнение прямой:
$$\frac{1}{a}=a\left(\frac{1}{2a^2}-\frac{3}{2}\right)-2.$$
Упростим:
$$\frac{1}{a}=\frac{1}{2a}-\frac{3a}{2}-2,$$
$$\frac{1}{2a}+\frac{3a}{2}=-2,$$
$$1+3a^2=-4a,$$
$$3a^2+4a+1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot 1=4,$$
$$a=\frac{-4\pm 2}{6}.$$
Получаем:
$$a_1=-1,\qquad a_2=-\frac{1}{3}.$$
Ответ
а) $$a=1,\,-\frac{1}{5}$$; б) $$a=-1,\,-\frac{1}{3}$$.
