Упр.31.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) При каких значениях параметра а функция y=x^3-27a^2x-1 имеет точку минимума х=6?

Подробный ответ

а) Для функции $$y=x^3-3a^2x+7$$ найдём производную:

$$y'(x)=3x^2-3a^2=3(x^2-a^2)=3(x-a)(x+a).$$

Точка максимума у кубической функции находится в той критической точке, где производная меняет знак с плюса на минус. По условию эта точка имеет абсциссу $$x=-4.$$

Значит, критическая точка должна совпадать с одним из корней производной:

$$x=\pm a.$$

Тогда

$$-4=\pm a,$$

откуда

$$a=-4 \quad \text{или} \quad a=4.$$

б) Для функции $$y=x^3-27a^2x-1$$ найдём производную:

$$y'(x)=3x^2-27a^2=3(x^2-9a^2)=3(x-3a)(x+3a).$$

Точка минимума имеет абсциссу $$x=6,$$ значит, эта точка должна быть критической:

$$6=\pm 3a.$$

Отсюда

$$a=2 \quad \text{или} \quad a=-2.$$