Упр.31.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) При каких значениях параметра а функция y=ax^3+6ax^2-8x+5 убывает на всей числовой прямой?

а) Функция возрастает на всей числовой прямой тогда и только тогда, когда её производная неотрицательна при всех $$x$$:

$$y=ax^3-6ax^2+8x-3,$$

$$y'(x)=3ax^2-12ax+8.$$

Требуется, чтобы

$$3ax^2-12ax+8\ge 0$$

при всех $$x$$. Это квадратный трёхчлен, неотрицательный при всех $$x$$, если его старший коэффициент положителен и дискриминант не больше нуля:

$$3a>0,$$

$$D=(-12a)^2-4\cdot 3a\cdot 8\le 0.$$

Получаем:

$$144a^2-96a\le 0,$$

$$48a(3a-2)\le 0.$$

С учётом $$a>0$$ имеем:

$$0\le a\le \frac{2}{3}.$$

Значит,

$$a\in\left[0;\frac{2}{3}\right].$$

б) Функция убывает на всей числовой прямой тогда и только тогда, когда её производная неположительна при всех $$x$$:

$$y=ax^3+6ax^2-8x+5,$$

$$y'(x)=3ax^2+12ax-8.$$

Требуется, чтобы

$$3ax^2+12ax-8\le 0$$

при всех $$x$$. Для этого нужно, чтобы старший коэффициент был отрицателен и дискриминант не превышал нуля:

$$3a<0,$$

$$D=(12a)^2-4\cdot 3a\cdot(-8)\le 0.$$

Тогда

$$144a^2+96a\le 0,$$

$$48a(3a+2)\le 0.$$

С учётом $$a<0$$ получаем:

$$-\frac{2}{3}\le a\le 0.$$

Следовательно,

$$a\in\left[-\frac{2}{3};0\right].$$

Ответ

а) $$\left[0;\frac{2}{3}\right]$$; б) $$\left[-\frac{2}{3};0\right]$$.