Упр.31.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$\frac{x-3a+1}{x+a}\mathrel{?}0$$ выполняется для всех значений $$x$$ из отрезка $$[-2;3]$$?
   б) При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$\frac{2x-4a+1}{x+a}$$ выполняется для всех значений $$x$$ из отрезка $$[-1;5]$$?

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x-3a+1}{x+a}\le 0,\qquad x\in[-2;3].$$

Чтобы неравенство выполнялось для всех $$x$$ из отрезка $$[-2;3]$$, дробь должна быть неположительной на всём этом отрезке. Это возможно в двух случаях:

1. числитель не положителен на всём отрезке, а знаменатель положителен;
2. числитель неотрицателен на всём отрезке, а знаменатель отрицателен.

1) Если

$$x-3a+1\le 0 \quad \text{для всех } x\in[-2;3],$$

то достаточно проверить правый конец отрезка:

$$3-3a+1\le 0,$$

$$a\ge \frac43.$$

Кроме того, знаменатель должен быть положительным на всём отрезке:

$$x+a>0 \quad \text{для всех } x\in[-2;3].$$

Минимум $$x+a$$ достигается при $$x=-2$$, значит

$$-2+a>0,$$

$$a>2.$$

Получаем: $$a>2.$$

2) Если

$$x-3a+1\ge 0 \quad \text{для всех } x\in[-2;3],$$

то достаточно проверить левый конец отрезка:

$$-2-3a+1\ge 0,$$

$$a\le -\frac13.$$

Знаменатель должен быть отрицательным на всём отрезке:

$$x+a<0 \quad \text{для всех } x\in[-2;3].$$

Максимум $$x+a$$ достигается при $$x=3$$, значит

$$3+a<0,$$

$$a<-3.$$

Получаем: $$a<-3.$$

Итак, для пункта а) подходят значения

$$a\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{2x-4a+1}{x+a}<0,\qquad x\in[-1;5].$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков.

1) Пусть

$$2x-4a+1<0 \quad \text{для всех } x\in[-1;5].$$

Тогда достаточно проверить правый конец отрезка:

$$10-4a+1<0,$$

$$a>\frac{11}{4}.$$

Одновременно знаменатель должен быть положительным на всём отрезке:

$$x+a>0 \quad \text{для всех } x\in[-1;5].$$

Минимум при $$x=-1$$, значит

$$-1+a>0,$$

$$a>1.$$

Итак, получаем $$a>\frac{11}{4}.$$

2) Пусть

$$2x-4a+1>0 \quad \text{для всех } x\in[-1;5].$$

Тогда достаточно проверить левый конец отрезка:

$$-2-4a+1>0,$$

$$a<-\frac14.$$

Знаменатель должен быть отрицательным на всём отрезке:

$$x+a<0 \quad \text{для всех } x\in[-1;5].$$

Максимум при $$x=5$$, значит

$$5+a<0,$$

$$a<-5.$$

Итак, получаем $$a<-5.$$

Следовательно, для пункта б) подходят значения

$$a\in(-\infty;-5)\cup\left(\frac{11}{4};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$$

б) $$(-\infty;-5)\cup\left(\frac{11}{4};+\infty\right)$$