Упр.31.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) cos((1/3)x)=a^2-1; в) sin(-2/5)x=1-a^2;
б) sin(x)=a^2+4a+4; г) cos(x)=a^2-5a-5.

1. $$\cos\left(\frac{x}{3}\right)=a^2-1.$$

   Чтобы уравнение имело решения, правая часть должна принадлежать отрезку $$[-1;1]$$:

   $$-1\le a^2-1\le 1.$$

   Отсюда

   $$0\le a^2\le 2,\qquad -\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$

   Если $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2,$$ то

   $$\frac{x}{3}=\pm \arccos(a^2-1)+2\pi n,$$

   значит

   $$x=\pm 3\arccos(a^2-1)+6\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x=a^2+4a+4.$$

   Нужно, чтобы

   $$-1\le a^2+4a+4\le 1.$$

   Левая часть:

   $$a^2+4a+4\ge -1 \;\Longleftrightarrow\; a^2+4a+5\ge 0.$$

   Так как $$D=16-20=-4<0,$$ то неравенство верно при всех $$a.$$

   Правая часть:

   $$a^2+4a+4\le 1 \;\Longleftrightarrow\; a^2+4a+3\le 0$$

   $$ (a+1)(a+3)\le 0,$$

   откуда

   $$-3\le a\le -1.$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\arcsin(a^2+4a+4)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin\left(-\frac{2}{5}x\right)=1-a^2.$$

   Для существования решений нужно:

   $$-1\le 1-a^2\le 1.$$

   Из левой части:

   $$-2\le -a^2 \;\Longleftrightarrow\; a^2\le 2.$$

   Из правой части:

   $$1-a^2\le 1 \;\Longleftrightarrow\; a^2\ge 0,$$

   что верно всегда. Значит,

   $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$

   Если $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2,$$ то

   $$-\frac{2}{5}x=(-1)^n\arcsin(1-a^2)+\pi n,$$

   откуда

   $$x=-\frac{5}{2}\left((-1)^n\arcsin(1-a^2)+\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos x=a^2-5a-5.$$

   Нужно, чтобы

   $$-1\le a^2-5a-5\le 1.$$

   Левая часть:

   $$a^2-5a-5\ge -1 \;\Longleftrightarrow\; a^2-5a-4\ge 0.$$

   Корни уравнения $$a^2-5a-4=0$$:

   $$a_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{41}}{2}.$$

   Тогда

   $$a\le \frac{5-\sqrt{41}}{2}\quad \text{или}\quad a\ge \frac{5+\sqrt{41}}{2}.$$

   Правая часть:

   $$a^2-5a-5\le 1 \;\Longleftrightarrow\; a^2-5a-6\le 0,$$

   $$ (a+1)(a-6)\le 0,$$

   откуда

   $$-1\le a\le 6.$$

   Пересечение условий даёт

   $$-1\le a\le \frac{5-\sqrt{41}}{2}\quad \text{или}\quad \frac{5+\sqrt{41}}{2}\le a\le 6.$$

   При этих значениях параметра

   $$x=\pm \arccos(a^2-5a-5)+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2,$$ $$x=\pm 3\arccos(a^2-1)+6\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$-3\le a\le -1,$$ $$x=(-1)^n\arcsin(a^2+4a+4)+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2,$$ $$x=-\frac{5}{2}\left((-1)^n\arcsin(1-a^2)+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$-1\le a\le \frac{5-\sqrt{41}}{2}$$ или $$\frac{5+\sqrt{41}}{2}\le a\le 6,$$ $$x=\pm \arccos(a^2-5a-5)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$