Упр.31.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Для всех значений параметра $$a$$ решите данное уравнение:
   а) $$\sin(x)=3a+2$$;
   в) $$\cos(x)=3-2a$$;
   б) $$\cos(2x)=4a-3$$;
   г) $$\sin(2x)=3-a$$.

1. а) $$\sin x=3a+2.$$

   Чтобы уравнение имело решения, нужно:

   $$-1\le 3a+2\le 1.$$

   Решаем неравенство:

   $$-3\le 3a\le -1,$$

   $$-1\le a\le -\frac13.$$

   Если $$-1\le a\le -\frac13,$$ то

   $$x=(-1)^k\arcsin(3a+2)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Если $$a<-1$$ или $$a>-\frac13,$$ то корней нет.

2. б) $$\cos 2x=4a-3.$$

   Для существования решений нужно:

   $$-1\le 4a-3\le 1.$$

   Тогда

   $$2\le 4a\le 4,$$

   $$\frac12\le a\le 1.$$

   Если $$\frac12\le a\le 1,$$ то

   $$2x=\pm \arccos(4a-3)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=\pm \frac12\arccos(4a-3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$a<\frac12$$ или $$a>1,$$ то корней нет.

3. в) $$\cos x=3-2a.$$

   Нужно, чтобы

   $$-1\le 3-2a\le 1.$$

   Получаем:

   $$-4\le -2a\le -2,$$

   $$2\le 2a\le 4,$$

   $$1\le a\le 2.$$

   Если $$1\le a\le 2,$$ то

   $$x=\pm \arccos(3-2a)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$a<1$$ или $$a>2,$$ то корней нет.

4. г) $$\sin 2x=3-a.$$

   Для существования решений нужно:

   $$-1\le 3-a\le 1.$$

   Тогда

   $$-4\le -a\le -2,$$

   $$2\le a\le 4.$$

   Если $$2\le a\le 4,$$ то

   $$2x=(-1)^n\arcsin(3-a)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=\frac12\left((-1)^n\arcsin(3-a)+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$a<2$$ или $$a>4,$$ то корней нет.

Ответ

а) при $$-1\le a\le -\frac13$$
$$x=(-1)^k\arcsin(3a+2)+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
иначе корней нет;

б) при $$\frac12\le a\le 1$$
$$x=\pm \frac12\arccos(4a-3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
иначе корней нет;

в) при $$1\le a\le 2$$
$$x=\pm \arccos(3-2a)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
иначе корней нет;

г) при $$2\le a\le 4$$
$$x=\frac12\left((-1)^n\arcsin(3-a)+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
иначе корней нет.