Упр.31.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Используя на калькуляторе клавиши sin и cos, вычислите и оцените абсолютную погрешность приближений, полученных в упражнении 31.9, с точностью до первой значащей цифры:
   а) $$\sin 0{,}5$$; в) $$\sin 0{,}1$$; б) $$\cos 0{,}2$$; г) $$\cos 0{,}1$$.
2. Для всех значений параметра $$a$$ решите неравенство:
   а) $$(a-2)x^2-4x-3?0$$;
   б) $$(a-3)x^2-2(a+1)x+a+2>0$$.

Найдём абсолютные погрешности приближений:

а) $$\Delta = |\sin 0{,}5 — 0{,}479| \approx 0{,}0004;$$

б) $$\Delta = |\cos 0{,}2 — 0{,}98| \approx 0{,}00007;$$

в) $$\Delta = |\sin 0{,}1 — 0{,}0998| \approx 0{,}00002;$$

г) $$\Delta = |\cos 0{,}1 — 0{,}995| \approx 0{,}000004.$$

Решим неравенства для всех значений параметра $$a$$.

1. $$(a-2)x^2-4x-3 \ge 0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D = (-4)^2 — 4(a-2)(-3)=16+12a-24=12a-8=4(3a-2).$$

   Тогда корни уравнения:

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{4(3a-2)}}{2(a-2)}=\frac{2\pm\sqrt{3a-2}}{a-2}.$$

   Рассмотрим случаи:

   • если $$a<\frac23,$$ то $$D<0,$$ решений нет;
   • если $$a=\frac23,$$ то $$-4x-3\ge 0,$$ откуда $$x\le -\frac34;$$
   • если $$\frac23<a<2,$$ то $$a-2<0,$$ поэтому
     $$\frac{2+\sqrt{3a-2}}{a-2}\le x\le \frac{2-\sqrt{3a-2}}{a-2};$$
   • если $$a=2,$$ то $$-4x-3\ge 0,$$ откуда $$x\le -\frac34;$$
   • если $$a>2,$$ то $$a-2>0,$$ поэтому
     $$x\le \frac{2-\sqrt{3a-2}}{a-2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{2+\sqrt{3a-2}}{a-2}.$$

2. $$(a-3)x^2-2(a+1)x+a+2>0.$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D=[-2(a+1)]^2-4(a-3)(a+2)=4(a+1)^2-4(a-3)(a+2)=4(3a+7).$$

   Корни уравнения:

   $$x_{1,2}=\frac{2(a+1)\pm\sqrt{4(3a+7)}}{2(a-3)}=\frac{a+1\pm\sqrt{3a+7}}{a-3}.$$

   Рассмотрим случаи:

   • если $$a\le -\frac73,$$ то $$D\le 0,$$ решений нет;
   • если $$a=\!3,$$ то получаем линейное неравенство
     $$-8x+5>0,\quad x<\frac58;$$
   • если $$-\frac73<a<3,$$ то $$a-3<0,$$ поэтому
     $$\frac{a+1+\sqrt{3a+7}}{a-3}<x<\frac{a+1-\sqrt{3a+7}}{a-3};$$
   • если $$a>3,$$ то $$a-3>0,$$ поэтому
     $$x<\frac{a+1-\sqrt{3a+7}}{a-3}\quad \text{или}\quad x>\frac{a+1+\sqrt{3a+7}}{a-3}.$$

Ответ:
а) $$\Delta\approx 0{,}0004;\ 0{,}00007;\ 0{,}00002;\ 0{,}000004.$$

б)
$$\begin{aligned} &\text{если } a<\frac23,\ \text{решений нет;}\\ &\text{если } a=\frac23,\ x\le -\frac34;\\ &\text{если } \frac23<a<2,\ \frac{2+\sqrt{3a-2}}{a-2}\le x\le \frac{2-\sqrt{3a-2}}{a-2};\\ &\text{если } a=2,\ x\le -\frac34;\\ &\text{если } a>2,\ x\le \frac{2-\sqrt{3a-2}}{a-2}\ \text{или}\ x\ge \frac{2+\sqrt{3a-2}}{a-2}. \end{aligned}$$

в)
$$\begin{aligned} &\text{если } a\le -\frac73,\ \text{решений нет;}\\ &\text{если } a=3,\ x<\frac58;\\ &\text{если } -\frac73<a<3,\ \frac{a+1+\sqrt{3a+7}}{a-3}<x<\frac{a+1-\sqrt{3a+7}}{a-3};\\ &\text{если } a>3,\ x<\frac{a+1-\sqrt{3a+7}}{a-3}\ \text{или}\ x>\frac{a+1+\sqrt{3a+7}}{a-3}. \end{aligned}$$