Упр.31.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 1 — x^2 / 2! + x^4 / 4! — x^6 / 6! < cos(x); б) cos(x) < 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - x^6 / 6! + x^8 / 8!; в) x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! < sin(x); г) sin(x) < x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - x^7 / 7! + x^9 / 9!. Для всех значений параметра а решите уравнение: а) (a^2-4)x-a+2=0; б) (2a^2-3a-9)x-2a-3=0; в) (25-4a^2)x-2a-5=0; г) (a^2-3a-4)x-a-1=0.

1) Доказательство неравенств. Обозначим соответствующие функции и сравним их значения через производные.

а) Пусть

$$f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}, \qquad g(x)=\cos x.$$

Тогда

$$f(0)=1,\qquad g(0)=\cos 0=1,$$

$$f'(x)=-x+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}, \qquad g'(x)=-\sin x.$$

Для $x>0$ имеем $f'(x)<g'(x)$, значит, при равенстве в нуле получаем

$$f(x)<g(x),$$

то есть

$$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}<\cos x.$$

б) Пусть

$$f(x)=\cos x,\qquad g(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}.$$

Тогда

$$f(0)=1,\qquad g(0)=1,$$

$$f'(x)=-\sin x,\qquad g'(x)=-x+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}.$$

Для $x>0$ имеем $f'(x)<g'(x)$, следовательно,

$$\cos x<1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}.$$

в) Пусть

$$f(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!},\qquad g(x)=\sin x.$$

Тогда

$$f(0)=0,\qquad g(0)=\sin 0=0,$$

$$f'(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!},\qquad g'(x)=\cos x.$$

По пункту а) при $x>0$ имеем $f'(x)<g'(x)$, значит,

$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}<\sin x.$$

г) Пусть

$$f(x)=\sin x,\qquad g(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}.$$

Тогда

$$f(0)=0,\qquad g(0)=0,$$

$$f'(x)=\cos x,\qquad g'(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}.$$

По пункту б) при $x>0$ имеем $f'(x)<g'(x)$, следовательно,

$$\sin x<x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}.$$

2) Решение уравнений при всех значениях параметра $a$.

а)

$$\begin{aligned} (a^2-4)x-a+2&=0,\\ (a-2)(a+2)x-(a-2)&=0,\\ (a-2)\bigl((a+2)x-1\bigr)&=0. \end{aligned}$$

Отсюда:

если $$a=2,$$ то уравнение тождественно верно и $$x\in(-\infty;+\infty);$$

если $$a=-2,$$ то получаем $$-4=0,$$ корней нет;

если $$a\ne\pm2,$$ то

$$x=\frac{1}{a+2}.$$

б)

$$\begin{aligned} (2a^2-3a-9)x-2a-3&=0,\\ (2a+3)(a-3)x-(2a+3)&=0,\\ (2a+3)\bigl((a-3)x-1\bigr)&=0. \end{aligned}$$

Отсюда:

если $$a=-\frac32,$$ то уравнение тождественно верно и $$x\in(-\infty;+\infty);$$

если $$a=3,$$ то корней нет;

если $$a\ne3$$ и $$a\ne-\frac32,$$ то

$$x=\frac{1}{a-3}.$$

в)

$$\begin{aligned} (25-4a^2)x-2a-5&=0,\\ (5-2a)(5+2a)x-(5+2a)&=0,\\ (5+2a)\bigl((5-2a)x-1\bigr)&=0. \end{aligned}$$

Отсюда:

если $$a=-\frac52,$$ то уравнение тождественно верно и $$x\in(-\infty;+\infty);$$

если $$a=\frac52,$$ то корней нет;

если $$a\ne\pm\frac52,$$ то

$$x=\frac{1}{5-2a}.$$

г)

$$\begin{aligned} (a^2-3a-4)x-a-1&=0,\\ (a-4)(a+1)x-(a+1)&=0,\\ (a+1)\bigl((a-4)x-1\bigr)&=0. \end{aligned}$$

Отсюда:

если $$a=-1,$$ то уравнение тождественно верно и $$x\in(-\infty;+\infty);$$

если $$a=4,$$ то корней нет;

если $$a\ne4$$ и $$a\ne-1,$$ то

$$x=\frac{1}{a-4}.$$

Ответ

а) $$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}<\cos x;$$
б) $$\cos x<1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!};$$
в) $$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}<\sin x;$$
г) $$\sin x<x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}.$$

а) если $$a=2,$$ то $$x\in(-\infty;+\infty);$$ если $$a=-2,$$ корней нет; если $$a\ne\pm2,$$ то $$x=\frac{1}{a+2}.$$
б) если $$a=-\frac32,$$ то $$x\in(-\infty;+\infty);$$ если $$a=3,$$ корней нет; если $$a\ne3$$ и $$a\ne-\frac32,$$ то $$x=\frac{1}{a-3}.$$
в) если $$a=-\frac52,$$ то $$x\in(-\infty;+\infty);$$ если $$a=\frac52,$$ корней нет; если $$a\ne\pm\frac52,$$ то $$x=\frac{1}{5-2a}.$$
г) если $$a=-1,$$ то $$x\in(-\infty;+\infty);$$ если $$a=4,$$ корней нет; если $$a\ne4$$ и $$a\ne-1,$$ то $$x=\frac{1}{a-4}.$$