Упр.30.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 1^(1/4); б) 0,5 (iv3 — 1); в) (-1)^(1/4); г) -0,5 (1 + iv3). Решите неравенство методом введения новой переменной:
а) (log_3(x+2))^2-8log_3(x+2)+15>0;
б) (log_5(x+1))^2-2log_5(x+1)-8<0.

1. а) $$z=1=\cos 2\pi+i\sin 2\pi.$$

   Четвёртые корни числа $$1$$:

   $$ w_k=\cos\frac{2\pi+2\pi k}{4}+i\sin\frac{2\pi+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3. $$

   $$ w_0=1,\quad w_1=i,\quad w_2=-1,\quad w_3=-i. $$

   На комплексной плоскости это точки $$1,\ i,\ -1,\ -i$$ на единичной окружности.

2. б) $$z=0{,}5(-1+i\sqrt3)=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$ w_k=\cos\frac{2\pi/3+2\pi k}{4}+i\sin\frac{2\pi/3+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3. $$

   $$ w_0=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\quad w_1=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad w_2=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i,\quad w_3=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. $$

3. в) $$z=-1=\cos\pi+i\sin\pi.$$

   Четвёртые корни:

   $$ w_k=\cos\frac{\pi+2\pi k}{4}+i\sin\frac{\pi+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3. $$

   $$ w_0=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,\quad w_1=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,\quad w_2=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i,\quad w_3=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i. $$

4. г) $$z=-0{,}5(1+i\sqrt3)=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$ w_k=\cos\frac{4\pi/3+2\pi k}{4}+i\sin\frac{4\pi/3+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3. $$

   $$ w_0=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad w_1=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\quad w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i,\quad w_3=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i. $$

5. а) $$\bigl(\log_3(x+2)\bigr)^2-8\log_3(x+2)+15>0.$$

   Пусть $$y=\log_3(x+2)$$. Тогда

   $$ y^2-8y+15>0 $$
   $$ (y-3)(y-5)>0 $$
   $$ y<3 \quad \text{или} \quad y>5. $$

   С учётом области определения $$x+2>0$$ получаем:

   $$ \log_3(x+2)<3 \Rightarrow x+2<27 \Rightarrow -2<x<25; $$

   $$ \log_3(x+2)>5 \Rightarrow x+2>243 \Rightarrow x>241. $$

   Итак, $$x\in(-2;25)\cup(241;+\infty).$$

6. б) $$\bigl(\log_5(x+1)\bigr)^2-2\log_5(x+1)-8<0.$$

   Пусть $$y=\log_5(x+1)$$. Тогда

   $$ y^2-2y-8<0 $$
   $$ (y+2)(y-4)<0 $$
   $$ -2<y<4. $$

   С учётом области определения $$x+1>0$$:

   $$ -2<\log_5(x+1)<4 $$
   $$ 5^{-2}<x+1<5^4 $$
   $$ \frac{1}{25}<x+1<625 $$
   $$ -\frac{24}{25}<x<624. $$

   Следовательно, $$x\in\left(-\frac{24}{25};624\right).$$

Ответ

а) $$\{1,\ i,\ -1,\ -i\}$$;
б) $$\left\{\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\ -\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\ -\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i,\ \frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right\}$$;
в) $$\left\{\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,\ -\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,\ -\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i,\ \frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\right\}$$;
г) $$\left\{\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\ -\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\ -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i,\ \frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right\}$$;
а) $$(-2;25)\cup(241;+\infty)$$;
б) $$\left(-\frac{24}{25};624\right)$$.