Упр.30.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) i^(1/3); б) 4v2 (1 — i); в) (-i)^(1/3); г) (v3 + i) / 16. Решите неравенство методом введения новой переменной:
а) 9^(x+2)+4·3^(2x+2)<4 1/3; г) 8^(x-2)+3·2^(3x-2)>24,5;
б) 4^vx-9·2^vx+8>0; д) 9^vx-10·3^vx+9<0;
в) (v5-2)^x+(v5+2)^x?v20; е) (2-v3)^x+(v3+2)^x?4.
Найдём все значения кубического корня из комплексного числа в тригонометрической форме.
а) $$i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}.$$
Тогда
$$ \sqrt[3]{i}:\quad r=1,\quad \varphi_k=\frac{\pi/2+2\pi k}{3},\ k=0,1,2. $$
$$ z_1=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i, $$
$$ z_2=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i, $$
$$ z_3=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i. $$В комплексной плоскости это точки на единичной окружности с аргументами $$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2}.$$
б) $$z=4\sqrt2(1-i)=8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$
$$ \sqrt[3]{z}:\quad r=\sqrt[3]{8}=2,\quad \varphi_k=\frac{-\pi/4+2\pi k}{3},\ k=0,1,2. $$
$$ z_1=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right), $$
$$ z_2=2\left(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin\frac{7\pi}{12}\right), $$
$$ z_3=2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt2-i\sqrt2. $$в) $$z=-i=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right).$$
$$ \sqrt[3]{z}:\quad r=1,\quad \varphi_k=\frac{-\pi/2+2\pi k}{3},\ k=0,1,2. $$
$$ z_1=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i, $$
$$ z_2=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i, $$
$$ z_3=\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i. $$г) $$z=\frac{\sqrt3+i}{16}=\frac18\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).$$
$$ \sqrt[3]{z}:\quad r=\sqrt[3]{\frac18}=\frac12,\quad \varphi_k=\frac{\pi/6+2\pi k}{3},\ k=0,1,2. $$
$$ z_1=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{18}+i\sin\frac{\pi}{18}\right), $$
$$ z_2=\frac12\left(\cos\frac{13\pi}{18}+i\sin\frac{13\pi}{18}\right), $$
$$ z_3=\frac12\left(\cos\frac{25\pi}{18}+i\sin\frac{25\pi}{18}\right). $$
Решим неравенства методом введения новой переменной.
а)
$$ 9^{x+2}+4\cdot 3^{2x+2}<4\frac13 $$ $$ 3^{2x}\cdot 81+4\cdot 3^{2x}\cdot 9<\frac{13}{3} $$ $$ 117\cdot 3^{2x}<\frac{13}{3} $$ $$ 3^{2x}<\frac1{27} $$ $$ 3^{2x}<3^{-3} $$ $$ 2x<-3,\quad x<-\frac32. $$
Ответ: $$(-\infty;\,-1{,}5).$$
б)
$$ 4^{\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8>0 $$
$$ 2^{2\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8>0. $$Пусть $$t=2^{\sqrt{x}},\ t>0.$$ Тогда
$$ t^2-9t+8>0 $$
$$ (t-1)(t-8)>0 $$
$$ t<1 \ \text{или}\ t>8. $$Так как $$t=2^{\sqrt{x}}\ge 1,$$ то остаётся
$$ 2^{\sqrt{x}}>8=2^3 $$
$$ \sqrt{x}>3 $$
$$ x>9. $$Ответ: $$(9;\,+\infty).$$
в)
$$ (\sqrt5-2)^x+(\sqrt5+2)^x\le \sqrt{20}. $$
Заметим, что
$$ (\sqrt5+2)=\frac1{\sqrt5-2}. $$
Пусть $$y=(\sqrt5-2)^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$ y+\frac1y\le \sqrt{20}. $$
$$ y^2-\sqrt{20}\,y+1\le 0. $$
$$ D=20-4=16,\quad y_{1,2}=\frac{\sqrt{20}\pm 4}{2}=\sqrt5\pm 2. $$
$$ \sqrt5-2\le y\le \sqrt5+2. $$
Так как $$0<\sqrt5-2<1,$$ получаем
$$ (\sqrt5-2)^x\ge \sqrt5-2 \Rightarrow x\le 1, $$
$$ (\sqrt5-2)^x\le \sqrt5+2 \Rightarrow x\ge -1. $$Ответ: $$[-1;\,1].$$
г)
$$ 8^{x-2}+3\cdot 2^{3x-2}>24{,}5 $$
$$ \frac{2^{3x}}{64}+\frac34\cdot 2^{3x}>\frac{49}{2} $$
$$ \left(\frac1{64}+\frac34\right)2^{3x}>\frac{49}{2} $$
$$ \frac{49}{64}\cdot 2^{3x}>\frac{49}{2} $$
$$ 2^{3x}>32=2^5 $$
$$ 3x>5,\quad x>\frac53. $$Ответ: $$\left(\frac53;\,+\infty\right).$$
д)
$$ 9^{\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0 $$
$$ 3^{2\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0. $$Пусть $$t=3^{\sqrt{x}},\ t>0.$$ Тогда
$$ t^2-10t+9<0 $$
$$ (t-1)(t-9)<0 $$
$$ 1<t<9. $$$$ 1<3^{\sqrt{x}}<9=3^2 $$
$$ 0<\sqrt{x}<2 $$
$$ 0<x<4. $$Ответ: $$(0;\,4).$$
е)
$$ (2-\sqrt3)^x+(\sqrt3+2)^x\ge 4. $$
Так как
$$ \sqrt3+2=\frac1{2-\sqrt3}, $$
положим $$y=(2-\sqrt3)^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$ y+\frac1y\ge 4 $$
$$ y^2-4y+1\ge 0. $$$$ D=16-4=12,\quad y_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm \sqrt3. $$
$$ y\le 2-\sqrt3 \ \text{или}\ y\ge 2+\sqrt3. $$
Так как $$0<2-\sqrt3<1,$$ то
$$ (2-\sqrt3)^x\le 2-\sqrt3 \Rightarrow x\ge 1, $$
$$ (2-\sqrt3)^x\ge 2+\sqrt3 \Rightarrow x\le -1. $$Ответ: $$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty).$$
Ответ
а) $$\left\{\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\ -\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\ -i\right\};$$
б) $$\left\{2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right),\ 2\left(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin\frac{7\pi}{12}\right),\ -\sqrt2-i\sqrt2\right\};$$
в) $$\left\{\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i,\ i,\ -\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right\};$$
г) $$\left\{\frac12\left(\cos\frac{\pi}{18}+i\sin\frac{\pi}{18}\right),\ \frac12\left(\cos\frac{13\pi}{18}+i\sin\frac{13\pi}{18}\right),\ \frac12\left(\cos\frac{25\pi}{18}+i\sin\frac{25\pi}{18}\right)\right\};$$
а) $$(-\infty;\,-1{,}5);$$
б) $$(9;\,+\infty);$$
в) $$[-1;\,1];$$
г) $$\left(\frac53;\,+\infty\right);$$
д) $$(0;\,4);$$
е) $$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty).$$
