Упр.30.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) z^2 + iz + 2 = 0; в) z^2 — (i — 1)z — i = 0;
б) z^2 — z + 1 — i = 0; г) z^2 — 3(i + 1)z + 5i — 1 = 0. Решите неравенство методом введения новой переменной:
а) 4^(2x)-6·4^x+8?0;
б) 3^(1+x)·2^(1-x)+3^x·2^(-x)?10,5;
в) 2·5^(2x)-11·5^x+5?0;
г) 2^x·5^(1-x)+2^(x+1)·5^(-x)?2,8.

1. Решим квадратные уравнения по формуле $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

   а) $$z^2+iz+2=0$$

   $$D=i^2-4\cdot 1\cdot 2=-1-8=-9,$$
   $$\sqrt{D}=3i.$$
   Тогда
   $$z_{1,2}=\frac{-i\pm 3i}{2},$$
   $$z_1=-2i,\quad z_2=i.$$

   б) $$z^2-z+1-i=0$$

   $$D=(-1)^2-4(1-i)=1-4+4i=-3+4i.$$
   Пусть $$\sqrt{D}=x+yi.$$ Тогда
   $$x^2-y^2=-3,\quad 2xy=4.$$
   Отсюда $$x^2=1,\ y=2,$$ значит
   $$\sqrt{D}=\pm(1+2i).$$
   Тогда
   $$z_{1,2}=\frac{1\pm(1+2i)}{2},$$
   $$z_1=-i,\quad z_2=1+i.$$

   в) $$z^2-(i-1)z-i=0$$

   $$D=(i-1)^2+4i=1-2i-1+4i=2i.$$
   Пусть $$\sqrt{D}=x+yi.$$ Тогда
   $$x^2-y^2=0,\quad 2xy=2.$$
   Получаем $$x=\pm 1,\ y=\pm 1,$$ значит
   $$\sqrt{D}=\pm(1+i).$$
   Тогда
   $$z_{1,2}=\frac{i-1\pm(1+i)}{2},$$
   $$z_1=-1,\quad z_2=i.$$

   г) $$z^2-3(i+1)z+5i-1=0$$

   $$D=[-3(i+1)]^2-4(5i-1)=9(i+1)^2-20i+4=-2i.$$
   Пусть $$\sqrt{D}=x+yi.$$ Тогда
   $$x^2-y^2=0,\quad 2xy=-2.$$
   Отсюда $$x=\pm 1,\ y=\mp 1,$$ значит
   $$\sqrt{D}=\pm(1-i).$$
   Тогда
   $$z_{1,2}=\frac{3(i+1)\pm(1-i)}{2},$$
   $$z_1=1+2i,\quad z_2=2+i.$$

2. Решим неравенства методом введения новой переменной.

   а) $$4^{2x}-6\cdot 4^x+8\le 0$$

   Обозначим $$t=4^x,\ t>0.$$ Тогда
   $$t^2-6t+8\le 0,$$
   $$\left(t-2\right)\left(t-4\right)\le 0,$$
   $$2\le t\le 4.$$
   Возвращаясь к $$x$$, получаем
   $$2\le 4^x\le 4,$$
   $$\frac12\le x\le 1.$$

   б) $$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\ge 10{,}5$$

   $$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}=6\left(\frac32\right)^x,\qquad 3^x\cdot 2^{-x}=\left(\frac32\right)^x.$$
   Тогда
   $$7\left(\frac32\right)^x\ge 10{,}5,$$
   $$\left(\frac32\right)^x\ge 1{,}5=\frac32,$$
   $$x\ge 1.$$

   в) $$2\cdot 5^{2x}-11\cdot 5^x+5\ge 0$$

   Обозначим $$t=5^x,\ t>0.$$ Тогда
   $$2t^2-11t+5\ge 0,$$
   $$D=121-40=81,$$
   $$t_1=\frac{11-9}{4}=\frac12,\quad t_2=\frac{11+9}{4}=5.$$
   Следовательно,
   $$\left(t-\frac12\right)(t-5)\ge 0,$$
   $$t\le \frac12 \ \text{или}\ t\ge 5.$$
   Значит,
   $$5^x\le \frac12 \ \text{или}\ 5^x\ge 5,$$
   $$x\le -\log_5 2 \ \text{или}\ x\ge 1.$$

   г) $$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\le 2{,}8$$

   $$2^x\cdot 5^{1-x}=5\left(\frac25\right)^x,\qquad 2^{x+1}\cdot 5^{-x}=2\left(\frac25\right)^x.$$
   Тогда
   $$7\left(\frac25\right)^x\le 2{,}8,$$
   $$\left(\frac25\right)^x\le 0{,}4=\frac25.$$
   Так как $$0<\frac25<1,$$ получаем
   $$x\ge 1.$$

Ответ

Уравнения: а) $$-2i,\ i$$; б) $$-i,\ 1+i$$; в) $$-1,\ i$$; г) $$1+2i,\ 2+i$$.
Неравенства: а) $$\left[\frac12;1\right]$$; б) $$[1;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-\log_5 2]\cup[1;+\infty)$$; г) $$[1;+\infty)$$.