Упр.30.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) прямой x = 0 из z-плоскости;
б) прямой y = 0 из z-плоскости;
в) прямой x = 1 из z-плоскости;
г) прямой y = -2 из z-плоскости. Решите неравенство методом введения новой переменной:
а) x^(1/3)-x^(1/6)-2?0; г) x^(1/5)-6x^(1/10)+8>0;
б) x^2-7|x|+6>0; д) x^2+2|x|-8<0;
в) |x^2-3|x|+2|<0; е) |x^2-8|x|+12|?0.
Пусть $$w=z^2,$$ где $$z=x+iy,$$ $$w=u+iv.$$ Тогда
$$w=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy,$$
то есть
$$u=x^2-y^2,\qquad v=2xy.$$
а) Если $$x=0,$$ то
$$u=-y^2,\qquad v=0.$$
Следовательно, образ — луч на оси $$u$$:
$$\{(u,0)\mid u\le 0\}.$$
б) Если $$y=0,$$ то
$$u=x^2,\qquad v=0.$$
Следовательно, образ — луч на оси $$u$$:
$$\{(u,0)\mid u\ge 0\}.$$
в) Если $$x=1,$$ то из $$v=2xy$$ получаем $$y=\dfrac{v}{2}.$$ Тогда
$$u=1-y^2=1-\frac{v^2}{4}.$$
Это парабола
$$u=1-\frac{v^2}{4}.$$
г) Если $$y=-2,$$ то из $$v=2xy$$ получаем $$x=-\dfrac{v}{4}.$$ Тогда
$$u=x^2-4=\frac{v^2}{16}-4.$$
Это парабола
$$u=\frac{v^2}{16}-4.$$
а) Решим неравенство $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2\le 0.$$
Положим $$t=\sqrt[6]{x},$$ тогда $$t\ge 0$$ и $$\sqrt[3]{x}=t^2.$$ Получаем
$$t^2-t-2\le 0,$$
$$ (t-2)(t+1)\le 0.$$
С учётом $$t\ge 0$$ имеем $$0\le t\le 2,$$ то есть
$$0\le x\le 64.$$
б) Решим неравенство $$x^2-7|x|+6>0.$$
Положим $$t=|x|,$$ тогда $$t\ge 0$$ и
$$t^2-7t+6>0,$$
$$ (t-1)(t-6)>0.$$
Отсюда $$t<1$$ или $$t>6.$$ Значит,
$$|x|<1 \quad \text{или} \quad |x|>6,$$
то есть
$$x\in(-1;1)\cup(-\infty;-6)\cup(6;+\infty).$$
в) Решим неравенство $$|x^2-3|x|+2|<0.$$
Модуль не может быть отрицательным, поэтому решений нет.
г) Решим неравенство $$x^{1/5}-6x^{1/10}+8>0.$$
Положим $$t=x^{1/10},$$ тогда $$t\ge 0$$ и $$x^{1/5}=t^2.$$ Получаем
$$t^2-6t+8>0,$$
$$ (t-2)(t-4)>0.$$
Следовательно, $$t<2$$ или $$t>4.$$ С учётом $$t\ge 0$$:
$$0\le t<2 \quad \text{или} \quad t>4.$$
Возвращаясь к $$x,$$ получаем
$$0\le x<1024 \quad \text{или} \quad x>1048576.$$
д) Решим неравенство $$x^2+2|x|-8<0.$$
Положим $$t=|x|,$$ тогда $$t\ge 0$$ и
$$t^2+2t-8<0,$$
$$ (t+4)(t-2)<0.$$
Отсюда $$0\le t<2,$$ значит
$$|x|<2,$$
то есть
$$-2<x<2.$$
е) Решим неравенство $$|x^2-8|x|+12|\ge 0.$$
Модуль любого выражения неотрицателен при всех значениях переменной, поэтому
$$x\in(-\infty;+\infty).$$
Ответ
а) $$\{(u,0)\mid u\le 0\}$$;
б) $$\{(u,0)\mid u\ge 0\}$$;
в) $$u=1-\dfrac{v^2}{4}$$;
г) $$u=\dfrac{v^2}{16}-4$$;
а) $$[0;64]$$;
б) $$(-\infty;-6)\cup(-1;1)\cup(6;+\infty)$$;
в) решений нет;
г) $$[0;1024)\cup(1048576;+\infty)$$;
д) $$(-2;2)$$;
е) $$(-\infty;+\infty)$$.
