Упр.30.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) u через x и y; в) u^2 + v^2 через x^2 + y^2;
б) v через x и y; г) u через x ? 0 и v. Решите неравенство, применяя теоремы о равносильности:
а) (3x-11)^(1/5)>(x+1)^(1/5); г) (6x+5)^(1/7)<(3x+26)^(1/7);
б) (x^2-6x)^7<(x-6)^7; д) (2x^2-5x)^11?(x^2+6)^11;
в) (2·0,1^x+3)^6?(0,1^x+103)^6; е) (2^(x+1)-15)^8?(2^x+17)^8.
Пусть $$u+iv=(x+iy)^2.$$ Тогда
$$ (x+iy)^2=x^2+2xyi+i^2y^2=x^2-y^2+2xyi. $$
Следовательно,
$$ u=x^2-y^2,\qquad v=2xy. $$
Найдём также:
$$ u^2+v^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2 $$
$$ =x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2 $$
$$ =x^4+2x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2. $$
Если $$x\ne 0,$$ то из $$v=2xy$$ получаем
$$ y=\frac{v}{2x}. $$
Тогда
$$ u=x^2-\left(\frac{v}{2x}\right)^2=x^2-\frac{v^2}{4x^2}. $$
Решим неравенства, используя монотонность нечётных степенных функций.
$$ \sqrt[5]{3x-11}>\sqrt[5]{x+1} $$
$$ 3x-11>x+1 $$
$$ 2x>12 $$
$$ x>6. $$
$$ (x^2-6x)^7<(x-6)^7 $$
$$ x^2-6x $$ (2\cdot 0{,}1^x+3)^6\le (0{,}1^x+103)^6 $$ $$ \sqrt[7]{6x+5}<\sqrt[7]{3x+26} $$
$$ 6x+5<3x+26 $$
$$ 3x<21 $$
$$ x<7. $$ $$ (2x^2-5x)^{11}\ge (x^2+6)^{11} $$ $$ (2^{x+1}-15)^8\ge (2^x+17)^8 $$ а) $$u=x^2-y^2,$$ $$v=2xy$$; а) $$(6;+\infty)$$;
$$ 2\cdot 0{,}1^x+3\le 0{,}1^x+103 $$
$$ 0{,}1^x\le 100 $$
$$ 10^{-x}\le 10^2 $$
$$ -x\le 2 $$
$$ x\ge -2. $$
$$ 2x^2-5x\ge x^2+6 $$
$$ x^2-5x-6\ge 0 $$
$$ (x+1)(x-6)\ge 0 $$
$$ x\le -1 \text{ или } x\ge 6. $$
$$ 2^{x+1}-15\ge 2^x+17 $$
$$ 2\cdot 2^x-15\ge 2^x+17 $$
$$ 2^x\ge 32 $$
$$ x\ge 5. $$Ответ
в) $$u^2+v^2=(x^2+y^2)^2$$;
г) $$u=x^2-\dfrac{v^2}{4x^2}$$, $$x\ne 0$$.
б) $$(1;6)$$;
в) $$[-2;+\infty)$$;
г) $$(-\infty;7)$$;
д) $$(-\infty;-1]\cup[6;+\infty)$$;
е) $$[5;+\infty)$$.
