Упр.30.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) |i — 1|^n > 10; в) |i — 1|^n ? |(iv3 + 1)^2|;
б) |0,3 + 0,4i|^n < 0,125; г) |0,3 + 0,4i|^n ? |2i - 1|^(-3). Решите неравенство, применяя теоремы о равносильности:
а) ln(x^2+15)>ln(2x^2+6);
б) log_(1/3)(2x+1)?log_(1/3)(x-5);
в) log_12(3x^2+1)?log_12(5-4x);
г) lg(12x^2+11)>lg(8x^2+15);
д) log_21(6x-11)?log_21(3x+2);
е) log_(1/?)(2x^2+1)>log_(1/?)(x+4).
а) $$|i-1|^n>10$$
$$|i-1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$
Тогда
$$\left(\sqrt{2}\right)^n>10.$$
Проверяем натуральные значения: $$\left(\sqrt{2}\right)^6=8<10,$$ а $$\left(\sqrt{2}\right)^7=8\sqrt{2}>10.$$
Наименьшее натуральное решение: $$n=7.$$
б) $$|0{,}3+0{,}4i|^n<0{,}125$$
$$|0{,}3+0{,}4i|=\sqrt{0{,}3^2+0{,}4^2}=0{,}5.$$
Получаем
$$0{,}5^n<0{,}125=\frac18.$$
Так как $$0{,}5^3=\frac18,$$ то нужно $$n>3.$$
Наименьшее натуральное решение: $$n=4.$$
в) $$|i-1|^n\ge |(i\sqrt{3}+1)^2|$$
$$|i-1|=\sqrt{2}, \qquad |i\sqrt{3}+1|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2.$$
Тогда
$$|(i\sqrt{3}+1)^2|=|i\sqrt{3}+1|^2=2^2=4.$$
Получаем неравенство
$$\left(\sqrt{2}\right)^n\ge 4=2^2,$$
откуда $$n\ge 4.$$
Наименьшее натуральное решение: $$n=4.$$
г) $$|0{,}3+0{,}4i|^n\le |2i-1|^{-3}$$
$$|0{,}3+0{,}4i|=0{,}5,\qquad |2i-1|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}.$$
Тогда
$$0{,}5^n\le (\sqrt{5})^{-3}=\frac{1}{5\sqrt{5}}.$$
Так как $$0{,}5^4=\frac{1}{16}<\frac{1}{5\sqrt{5}},$$ а при $$n=3$$ неравенство не выполняется, то наименьшее натуральное решение:
$$n=4.$$
а) $$\ln(x^2+15)>\ln(2x^2+6)$$
Так как функция $$\ln x$$ возрастает, то
$$x^2+15>2x^2+6.$$
$$x^2-9<0,$$
$$ (x-3)(x+3)<0.$$
Отсюда
$$-3<x<3.$$
б) $$\log_{\frac13}(2x+1)\le \log_{\frac13}(x-5)$$
Так как основание $$\frac13<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит
$$2x+1\ge x-5.$$
Но нужно учесть область определения:
$$2x+1>0,\qquad x-5>0.$$
Из ОДЗ получаем $$x>5.$$
Это условие уже удовлетворяет неравенству $$2x+1\ge x-5.$$
Следовательно,
$$x\in(5;+\infty).$$
в) $$\log_{12}(3x^2+1)\ge \log_{12}(5-4x)$$
Так как основание $$12>1,$$ то
$$3x^2+1\ge 5-4x.$$
$$3x^2+4x-4\ge 0.$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{6},\qquad x_1=-2,\quad x_2=\frac23.$$
Тогда
$$ (x+2)\left(x-\frac23\right)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac23.$$
Учитываем ОДЗ:
$$5-4x>0,\qquad x<\frac54.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac23;\frac54\right).$$
г) $$\lg(12x^2+11)>\lg(8x^2+15)$$
Так как функция $$\lg x$$ возрастает, то
$$12x^2+11>8x^2+15.$$
$$4x^2-4>0,$$
$$x^2-1>0,$$
$$ (x-1)(x+1)>0.$$
Отсюда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1.$$
д) $$\log_{21}(6x-11)\le \log_{21}(3x+2)$$
Так как основание $$21>1,$$ то
$$6x-11\le 3x+2.$$
$$3x\le 13,\qquad x\le \frac{13}{3}.$$
Учитываем ОДЗ:
$$6x-11>0,\qquad 3x+2>0.$$
Отсюда $$x>\frac{11}{6}.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac{11}{6};\frac{13}{3}\right].$$
е) $$\log_{\frac1\pi}(2x^2+1)>\log_{\frac1\pi}(x+4)$$
Так как основание $$\frac1\pi<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит
$$2x^2+1<x+4.$$
$$2x^2-x-3<0.$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4},\qquad x_1=-1,\quad x_2=\frac32.$$
Тогда
$$ (x+1)\left(x-\frac32\right)<0,$$
откуда
$$-1<x<\frac32.$$
ОДЗ: $$x+4>0,$$ то есть $$x>-4,$$ что не меняет ответ.
Ответ
1) а) $$7$$; б) $$4$$; в) $$4$$; г) $$4$$.
2) а) $$(-3;3)$$; б) $$(5;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-2]\cup\left[\frac23;\frac54\right)$$; г) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$; д) $$\left(\frac{11}{6};\frac{13}{3}\right]$$; е) $$\left(-1;\frac32\right).$$
