Упр.30.34 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (x^2+4x)(ctg^2(x)+3^(x-1))?0;
б) v(cos(x)-1)?x^2-36;
в) 6log_3|x-1|<14+2x-x^2;
г) (x^2-2x)(tg^2(x)+2^(x+1))?0;
д) v(sin(x)-1)?9-x^2;
е) log_2(x^2+x-10)<25-2x-2x^2.
а) $$\left(x^2+4x\right)\left(\ctg^2 x+3^{x-1}\right)\le 0.$$
Так как $$\ctg^2 x\ge 0$$ и $$3^{x-1}>0,$$ то
$$\ctg^2 x+3^{x-1}>0.$$
Значит, нужно решить неравенство
$$x^2+4x\le 0,\qquad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
$$x(x+4)\le 0 \;\Rightarrow\; x\in[-4;0].$$
Исключаем точки $$x=\pi n$$. На отрезке $$[-4;0]$$ это точки $$-\pi$$ и $$0$$.
$$x\in[-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$
б) $$\sqrt{\cos x-1}\le x^2-36.$$
Для существования левой части нужно
$$\cos x-1\ge 0 \;\Rightarrow\; \cos x=1 \;\Rightarrow\; x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Тогда левая часть равна нулю, и неравенство принимает вид
$$0\le x^2-36.$$
При $$x=2\pi n$$ и $$n\ne 0$$ имеем $$|x|\ge 2\pi>6,$$ значит неравенство выполняется. При $$n=0$$ получаем $$x=0,$$ но тогда $$x^2-36<0.$$
Следовательно,
$$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z\setminus\{0\}.$$
в) $$6\log_3|x-1|<14+2x-x^2.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=6\log_3|x-1|,\qquad g(x)=14+2x-x^2.$$
Обе функции симметричны относительно прямой $$x=1.$$
Найдём точку пересечения:
$$f(4)=6\log_3 3=6,\qquad g(4)=14+8-16=6.$$
Значит, вторая точка пересечения симметрична ей относительно $$x=1$$:
$$x=1-(4-1)=-2.$$
На промежутке $$(-2;4)$$ выполняется неравенство $$f(x)
С учётом области определения $$x\ne 1$$ получаем
$$x\in(-2;1)\cup(1;4).$$
г) $$\left(x^2-2x\right)\left(\tg^2 x+2^{x+1}\right)\le 0.$$
Так как $$\tg^2 x\ge 0$$ и $$2^{x+1}>0,$$ то
$$\tg^2 x+2^{x+1}>0.$$
Следовательно,
$$x^2-2x\le 0,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
$$x(x-2)\le 0 \;\Rightarrow\; x\in[0;2].$$
Исключаем точку $$x=\frac{\pi}{2},$$ так как она лежит в отрезке $$[0;2].$$
Итак,
$$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};2\right].$$
д) $$\sqrt{\sin x-1}\le 9-x^2.$$
Для существования левой части нужно
$$\sin x-1\ge 0 \;\Rightarrow\; \sin x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Тогда левая часть равна нулю, и остаётся
$$0\le 9-x^2.$$
При $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ это выполняется только для $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{2}.$$
е) $$\log_2(x^2+x-10)<25-2x-2x^2.$$
Область определения:
$$x^2+x-10>0.$$
$$x^2+x-10=(x+5)(x-2),$$
откуда
$$x\in(-\infty;-5)\cup(2;+\infty).$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\log_2(x^2+x-10),\qquad g(x)=25-2x-2x^2.$$
Они симметричны относительно прямой $$x=-\frac12.$$
Найдём точку пересечения:
$$f(3)=\log_2(9+3-10)=\log_2 2=1,$$
$$g(3)=25-6-18=1.$$
Значит, вторая точка пересечения симметрична ей относительно $$x=-\frac12$$:
$$x=-1-3=-4.$$
На промежутке $$(-4;3)$$ выполняется неравенство $$f(x)
С учётом области определения получаем
$$x\in(-4;-5)\cup\left(\frac{-1-\sqrt{41}}{2};3\right).$$
После пересечения с областью определения остаётся
$$x\in\left(-4;\frac{-1-\sqrt{41}}{2}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{41}}{2};3\right).$$
Ответ
а) $$[-4;-\pi)\cup(-\pi;0)$$; б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z\setminus\{0\}$$; в) $$(-2;1)\cup(1;4)$$; г) $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};2\right]$$; д) $$x=\frac{\pi}{2}$$; е) $$\left(-4;\frac{-1-\sqrt{41}}{2}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{41}}{2};3\right).$$
