Упр.30.33 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (x-3)log_3(x+3)?0; г) (3-x)log_5(x+4)?0;
б) (3^x-5)(4x+7)?0; д) (6^x-3)(5x+8)?0;
в) (x-5)v(log_2(x-2))?0; е) (x-12)v(log_7(x-5))?0.
а)
$$ (x-3)\log_3(x+3)\ge 0 $$
Так как $$\log_3(x+3)\ge 0 \iff x+3\ge 1 \iff x\ge -2,$$ а $$\log_3(x+3)\le 0 \iff -3<x\le -2,$$ то по знакам множителей получаем
$$x\in(-3;-2]\cup[3;+\infty).$$
б)
$$ (3^x-5)(4x+7)\le 0 $$
Положим $$3^x-5\le 0 \iff x\le \log_3 5,$$ а $$4x+7\ge 0 \iff x\ge -\frac74.$$
Тогда решение неравенства:
$$x\in\left[-\frac74;\log_3 5\right].$$
в)
$$ (x-5)\sqrt{\log_2(x-2)}\ge 0 $$
Область определения:
$$\log_2(x-2)\ge 0,\quad x-2\ge 1,\quad x\ge 3.$$
Кроме того, $$\sqrt{\log_2(x-2)}\ge 0,$$ поэтому произведение неотрицательно при $$x-5\ge 0.$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in\{3\}\cup[5;+\infty).$$
г)
$$ (3-x)\log_5(x+4)\le 0 $$
Так как $$3-x=-(x-3),$$ то неравенство равносильно
$$ (x-3)\log_5(x+4)\ge 0.$$
Область определения: $$x+4>0,\; x>-4.$$
Далее:
$$\log_5(x+4)\ge 0 \iff x\ge -3.$$
Получаем
$$x\in(-4;-3]\cup[3;+\infty).$$
д)
$$ (6^x-3)(5x+8)\ge 0 $$
Преобразуем первый множитель:
$$6^x-3\le 0 \iff x\le \log_6 3.$$
Второй множитель:
$$5x+8\ge 0 \iff x\ge -\frac85.$$
Тогда
$$x\in\left(-\infty;-\frac85\right]\cup[\log_6 3;+\infty).$$
е)
$$ (x-12)\sqrt{\log_7(x-5)}\ge 0 $$
Область определения:
$$\log_7(x-5)\ge 0,\quad x-5\ge 1,\quad x\ge 6.$$
Так как $$\sqrt{\log_7(x-5)}\ge 0,$$ то нужно, чтобы $$x-12\ge 0.$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in\{6\}\cup[12;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-3;-2]\cup[3;+\infty)$$; б) $$\left[-\frac74;\log_3 5\right]$$; в) $$\{3\}\cup[5;+\infty)$$; г) $$(-4;-3]\cup[3;+\infty)$$; д) $$\left(-\infty;-\frac85\right]\cup[\log_6 3;+\infty)$$; е) $$\{6\}\cup[12;+\infty)$$.
