Упр.30.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 25^log_0,1(x)-5^log_0,1(x+1)+0,1^log_0,1(4)?0;
б) 49^ln(x)-7^(ln(x)+1)-e^ln(8)?0.

а) Обозначим $$y=5^{\log_{0,1}x}.$$ Тогда

$$25^{\log_{0,1}x}-5^{\log_{0,1}x+1}+0,1^{\log_{0,1}4}\le 0$$
$$5^{2\log_{0,1}x}-5\cdot 5^{\log_{0,1}x}+4\le 0$$
$$y^2-5y+4\le 0$$
$$ (y-1)(y-4)\le 0.$$

Отсюда

$$1\le y\le 4.$$

Так как $$y=5^{\log_{0,1}x},$$ получаем:

$$1\le 5^{\log_{0,1}x}\le 4.$$

Левая часть даёт

$$5^{\log_{0,1}x}\ge 1 \;\Longrightarrow\; \log_{0,1}x\ge 0 \;\Longrightarrow\; 0<x\le 1.$$

Правая часть даёт

$$5^{\log_{0,1}x}\le 4 \;\Longrightarrow\; \log_{0,1}x\le \log_5 4.$$

Так как основание $$0,1<1,$$ знак неравенства при переходе к $$x$$ меняется:

$$x\ge 0,1^{\log_5 4}.$$

С учётом ОДЗ получаем

$$x\in \left[0,1\right].$$

б) Обозначим $$y=7^{\ln x}.$$ Тогда

$$49^{\ln x}-7^{\ln x+1}-e^{\ln 8}\ge 0$$
$$7^{2\ln x}-7\cdot 7^{\ln x}-8\ge 0$$
$$y^2-7y-8\ge 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$D=49+32=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2},$$
$$y_1=-1,\quad y_2=8.$$

Тогда

$$ (y+1)(y-8)\ge 0,$$
$$y\le -1 \;\text{или}\; y\ge 8.$$

Но $$y=7^{\ln x}>0,$$ значит случай $$y\le -1$$ невозможен. Остаётся

$$7^{\ln x}\ge 8.$$

Так как функция $$7^t$$ возрастает, получаем

$$\ln x\ge \log_7 8,$$
$$x\ge e^{\log_7 8}.$$

Преобразуем:

$$e^{\log_7 8}=e^{\frac{\ln 8}{\ln 7}}=8^{\frac{1}{\ln 7}}.$$

Следовательно,

$$x\in \left[8^{\frac{1}{\ln 7}},+\infty\right).$$

Ответ

а) $$\left[0,1\right]$$;
б) $$\left[8^{\frac{1}{\ln 7}},+\infty\right).$$