Упр.30.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 2sin^2(x)+sin(x)-3?0;
б) 6cos^2(x)-13cos(x)+7?0.

1. а) Решим неравенство

   $$2\sin^2 x+\sin x-3\ge 0.$$

   Положим $$y=\sin x$$. Тогда

   $$2y^2+y-3\ge 0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=1+24=25,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}, \quad y_1=-\frac32,\quad y_2=1.$$

   Тогда

   $$\left(y+\frac32\right)(y-1)\ge 0,$$

   откуда

   $$y\le -\frac32 \quad \text{или} \quad y\ge 1.$$

   Но $$\sin x\in[-1;1],$$ поэтому условие $$\sin x\le -\frac32$$ невозможно. Остаётся

   $$\sin x=1.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) Решим неравенство

   $$6\cos^2 x-13\cos x+7\le 0.$$

   Положим $$y=\cos x$$. Тогда

   $$6y^2-13y+7\le 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=169-168=1,$$

   $$y_{1,2}=\frac{13\pm 1}{12}, \quad y_1=1,\quad y_2=\frac76.$$

   Тогда

   $$\left(y-1\right)\left(y-\frac76\right)\le 0,$$

   откуда

   $$1\le y\le \frac76.$$

   Так как $$\cos x\le 1,$$ получаем только

   $$\cos x=1.$$

   Следовательно,

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$