Упр.30.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (cos 17° + i sin 17°)^7; в) (cos 27° + i sin 27°)^(-17);
б) (cos 12° — i sin 12°)^12; г) (cos 2° — i sin 2°)^(-222). Докажите равносильность:
а) неравенства |f(x)|?g(x) и системы неравенств {f(x)?g(x), f(x)?-g(x)};
б) неравенств |f(x)?|g(x)| и (f(x)-g(x))·(f(x)+g(x))?0;
в) неравенства (f(x))^1/(2n)?(g(x))^1/(2n) и системы неравенств {f(x)?0, f(x)?g(x)};
г) неравенства |f(x)|?g(x) и совокупности неравенств [f(x)?g(x), f(x)?-g(x)];
д) неравенства v(f(x))>g(x) и совокупности систем неравенств {f(x)?0, g(x)<0} и {f(x)>g^2(x), g(x)?0};
е) неравенства v(f(x))0}.

Используем формулу Муавра:

$$\left(\cos \alpha + i\sin \alpha\right)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha.$$

Тогда аргумент полученного числа равен углу $$n\alpha$$, приведённому по модулю $$360^\circ$$.

а)

$$\left(\cos 17^\circ+i\sin 17^\circ\right)^7=\cos 119^\circ+i\sin 119^\circ,$$

значит, аргумент равен $$119^\circ$$.

б)

$$\left(\cos 12^\circ-i\sin 12^\circ\right)^{12}=\left(\cos(-12^\circ)+i\sin(-12^\circ)\right)^{12}$$

$$=\cos(-144^\circ)+i\sin(-144^\circ),$$

следовательно, аргумент можно взять равным $$-144^\circ$$.

в)

$$\left(\cos 27^\circ+i\sin 27^\circ\right)^{-17}=\cos(-459^\circ)+i\sin(-459^\circ).$$

Приведём угол к промежутку от $$0^\circ$$ до $$360^\circ$$:

$$-459^\circ+360^\circ=-99^\circ.$$

Значит, аргумент равен $$-99^\circ$$.

г)

$$\left(\cos 2^\circ-i\sin 2^\circ\right)^{-222}=\left(\cos(-2^\circ)+i\sin(-2^\circ)\right)^{-222}$$

$$=\cos 444^\circ+i\sin 444^\circ.$$

Приведём угол:

$$444^\circ-360^\circ=84^\circ.$$

Значит, аргумент равен $$84^\circ$$.

Докажем равносильность.

а) $$|f(x)|\le g(x)$$ равносильно системе

$$-g(x)\le f(x)\le g(x),$$

то есть

$$\begin{cases}f(x)\le g(x),\\ f(x)\ge -g(x).\end{cases}$$

б) $$|f(x)|\le |g(x)|$$ равносильно

$$f^2(x)\le g^2(x),$$

то есть

$$f^2(x)-g^2(x)\le 0,$$

$$\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\le 0.$$

в) $$\sqrt[2n]{f(x)}\le \sqrt[2n]{g(x)}$$ равносильно системе

$$\begin{cases}f(x)\ge 0,\\ f(x)\le g(x).\end{cases}$$

Действительно, функция $$y=\sqrt[2n]{x}$$ возрастает при $$x\ge 0$$.

г) $$|f(x)|\ge g(x)$$ равносильно совокупности

$$\begin{cases}f(x)\le -g(x),\end{cases}\qquad \text{или}\qquad \begin{cases}f(x)\ge g(x).\end{cases}$$

д) $$\sqrt{f(x)}>g(x)$$ равносильно совокупности систем

$$\begin{cases}f(x)\ge 0,\\ g(x)<0,\end{cases}\qquad \text{или}\qquad \begin{cases}f(x)>g^2(x),\\ g(x)\ge 0.\end{cases}$$

е) $$\sqrt{f(x)}<g(x)$$ равносильно системе

$$\begin{cases}f(x)<g^2(x),\\ f(x)\ge 0,\\ g(x)>0.\end{cases}$$

Ответ

а) $$119^\circ$$; б) $$-144^\circ$$; в) $$-99^\circ$$; г) $$84^\circ$$.