Упр.30.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) |ln(x)|<1; г) |ln(x)-1|>1;
б) lg(|x|+1)?1; д) |lg|x|+1|?1;
в) |lg(|x|-1)|>1; е) lg(|x|-1)?1.
а) $$|\ln x|<1$$
Это равносильно системе неравенств:
$$-1<\ln x<1.$$
Переходим к показательной форме:
$$e^{-1}<x<e.$$
Ответ: $$\left(\frac{1}{e};\,e\right).$$
б) $$\lg(|x|+1)\ge 1$$
Так как функция $$\lg t$$ возрастает, получаем:
$$|x|+1\ge 10,$$
$$|x|\ge 9.$$
Следовательно,
$$x\le -9 \quad \text{или} \quad x\ge 9.$$
Ответ: $$(-\infty;\,-9]\cup[9;\,+\infty).$$
в) $$|\lg(|x|-1)|>1$$
Область определения: $$|x|-1>0,$$ то есть $$|x|>1.$$
Рассмотрим два случая:
$$\lg(|x|-1)<-1 \quad \text{или} \quad \lg(|x|-1)>1.$$
1) $$\lg(|x|-1)<-1$$
$$0<|x|-1<0{,}1,$$
$$1<|x|<1{,}1.$$
Отсюда
$$-1{,}1<x<-1 \quad \text{или} \quad 1<x<1{,}1.$$
2) $$\lg(|x|-1)>1$$
$$|x|-1>10,$$
$$|x|>11.$$
Отсюда
$$x<-11 \quad \text{или} \quad x>11.$$
Объединяем решения:
Ответ: $$(-\infty;\,-11)\cup(-1{,}1;\,-1)\cup(1;\,1{,}1)\cup(11;\,+\infty).$$
г) $$|\ln x-1|>1$$
Рассмотрим два случая:
$$\ln x-1<-1 \quad \text{или} \quad \ln x-1>1.$$
1) $$\ln x<0,$$ значит
$$0<x<1.$$
2) $$\ln x>2,$$ значит
$$x>e^2.$$
Ответ: $$ (0;\,1)\cup(e^2;\,+\infty).$$
д) $$|\lg(|x|+1)|\ge 1$$
Это равносильно системе двух неравенств:
$$\lg(|x|+1)\le -1 \quad \text{или} \quad \lg(|x|+1)\ge 1.$$
1) $$\lg(|x|+1)\le -1$$
$$|x|+1\le 0{,}1,$$
$$|x|\le -0{,}9,$$
что невозможно.
2) $$\lg(|x|+1)\ge 1$$
$$|x|+1\ge 10,$$
$$|x|\ge 9.$$
Следовательно,
$$x\le -9 \quad \text{или} \quad x\ge 9.$$
Ответ: $$(-\infty;\,-9]\cup[9;\,+\infty).$$
е) $$\lg(|x|-1)\le 1$$
Область определения: $$|x|-1>0,$$ то есть $$|x|>1.$$
Так как функция $$\lg t$$ возрастает, получаем:
$$0<|x|-1\le 10.$$
Тогда
$$1<|x|\le 11.$$
Следовательно,
$$-11\le x<-1 \quad \text{или} \quad 1<x\le 11.$$
Ответ: $$[-11;\,-1)\cup(1;\,11].$$
