Упр.30.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Решите неравенство:
а) $$|4x-3|<|2x+1|$$;
б) $$|x^2+3x-5|<|x^2-7x+5|$$;
в) $$|x^2+4x-5|?(x+5)(x-1)$$;
г) $$|7x+3|>|4-5x|$$;
д) $$|x^2-5x+7|?|x^2+2x-7|$$;
е) $$|x^2-2x-15|?(x-5)(x+3)$$.
а) $$|4x-3|<|2x+1|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(4x-3)^2<(2x+1)^2$$
$$16x^2-24x+9<4x^2+4x+1$$
$$12x^2-28x+8<0$$
$$3x^2-7x+2<0$$
$$(3x-1)(x-2)<0$$
Отсюда:
$$\frac13<x<2$$
б) $$|x^2+3x-5|<|x^2-7x+5|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(x^2+3x-5)^2<(x^2-7x+5)^2$$
$$\bigl((x^2+3x-5)-(x^2-7x+5)\bigr)\bigl((x^2+3x-5)+(x^2-7x+5)\bigr)<0$$
$$(10x-10)(2x^2-4x)<0$$
$$20(x-1)x(x-2)<0$$
$$x(x-1)(x-2)<0$$
Отсюда:
$$x<0 \quad \text{или} \quad 1<x<2$$
в) $$|x^2+4x-5|\le (x+5)(x-1)$$
Заметим, что
$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$$
Тогда неравенство имеет вид:
$$|(x+5)(x-1)|\le (x+5)(x-1)$$
Это возможно только при
$$(x+5)(x-1)\ge 0$$
Следовательно,
$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 1$$
г) $$|7x+3|>|4-5x|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(7x+3)^2>(4-5x)^2$$
$$\bigl((7x+3)-(4-5x)\bigr)\bigl((7x+3)+(4-5x)\bigr)>0$$
$$(12x-1)(2x+7)>0$$
Отсюда:
$$x<-\frac72 \quad \text{или} \quad x>\frac1{12}$$
д) $$|x^2-5x+7|\ge |x^2+2x-7|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(x^2-5x+7)^2\ge (x^2+2x-7)^2$$
$$\bigl((x^2-5x+7)-(x^2+2x-7)\bigr)\bigl((x^2-5x+7)+(x^2+2x-7)\bigr)\ge 0$$
$$(14-7x)(2x^2-3x)\ge 0$$
$$(7x-14)(2x^2-3x)\le 0$$
$$7(x-2)x(2x-3)\le 0$$
Отсюда:
$$x\le 0 \quad \text{или} \quad \frac32\le x\le 2$$
е) $$|x^2-2x-15|\ge (x-5)(x+3)$$
Заметим, что
$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$$
Тогда
$$|(x-5)(x+3)|\ge (x-5)(x+3)$$
Это верно при любых значениях $$x$$.
Ответ
а) $$\left(\frac13;2\right)$$; б) $$(-\infty;0)\cup(1;2)$$; в) $$(-\infty;-5]\cup[1;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-\frac72)\cup\left(\frac1{12};+\infty\right)$$; д) $$(-\infty;0]\cup\left[\frac32;2\right]$$; е) $$(-\infty;+\infty)$$.
