Упр.30.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) v(x+3)·v(4x+5)>6; г) v(2x+3)·v(x-2)<3; б) v((x+3)(4x+5))>6; д) v((2x+3)(x-2))<3; в) v(4x+5)/v(x+3)>6; е) v(2x+3)/v(x-2)<3.
а) $$\sqrt{x+3}\cdot\sqrt{4x+5}>6$$
Объединим корни:
$$\sqrt{(x+3)(4x+5)}>6$$
Возведём обе части в квадрат:
$$ (x+3)(4x+5)>36 $$
$$4x^2+17x+15>36$$
$$4x^2+17x-21>0$$
$$D=17^2-4\cdot4\cdot(-21)=289+336=625$$
$$x_1=\frac{-17-25}{8}=-\frac{21}{4},\qquad x_2=\frac{-17+25}{8}=1$$
Тогда
$$\left(x+\frac{21}{4}\right)(x-1)>0$$
$$x<-\frac{21}{4}\ \text{или}\ x>1$$
Но по области определения:
$$x+3\ge 0,\qquad 4x+5\ge 0$$
$$x\ge -3,\qquad x\ge -\frac54$$
Значит, подходит только $$x>1$$.
б) $$\sqrt{(x+3)(4x+5)}>6$$
Возведём в квадрат:
$$ (x+3)(4x+5)>36 $$
$$4x^2+17x-21>0$$
$$\left(x+\frac{21}{4}\right)(x-1)>0$$
$$x<-\frac{21}{4}\ \text{или}\ x>1$$
Область определения:
$$ (x+3)(4x+5)\ge 0 $$
$$x\le -3\ \text{или}\ x\ge -\frac54$$
Пересечение даёт:
$$(-\infty;-\frac{21}{4})\cup(1;+\infty)$$
в) $$\frac{\sqrt{4x+5}}{\sqrt{x+3}}>6$$
Область определения:
$$x+3>0,\qquad 4x+5\ge 0$$
$$x>-3,\qquad x\ge -\frac54$$
Следовательно, $$x>- \frac54$$.
Так как знаменатель положителен, умножим на $$\sqrt{x+3}$$:
$$\sqrt{4x+5}>6\sqrt{x+3}$$
Возведём в квадрат:
$$4x+5>36(x+3)$$
$$4x+5>36x+108$$
$$32x<-103$$
$$x<-\frac{103}{32}$$
Это не пересекается с областью определения, поэтому решений нет.
г) $$\sqrt{2x+3}\cdot\sqrt{x-2}<3$$
Объединим корни:
$$\sqrt{(2x+3)(x-2)}<3$$
Возведём в квадрат:
$$ (2x+3)(x-2)<9 $$
$$2x^2-x-6<9$$
$$2x^2-x-15<0$$
$$D=1+120=121$$
$$x_1=\frac{1-11}{4}=-\frac52,\qquad x_2=\frac{1+11}{4}=3$$
Тогда
$$-\frac52<x<3$$
Область определения:
$$2x+3\ge 0,\qquad x-2\ge 0$$
$$x\ge -\frac32,\qquad x\ge 2$$
Значит, $$x\ge 2$$.
Пересечение:
$$[2;3)$$
д) $$\sqrt{(2x+3)(x-2)}<3$$
Возведём в квадрат:
$$ (2x+3)(x-2)<9 $$
$$2x^2-x-15<0$$
$$\left(x+\frac52\right)(x-3)<0$$
$$-\frac52<x<3$$
Область определения:
$$ (2x+3)(x-2)\ge 0 $$
$$x\le -\frac32\ \text{или}\ x\ge 2$$
Пересечение с $$\left(-\frac52;3\right)$$:
$$\left(-\frac52;-\frac32\right]\cup[2;3)$$
е) $$\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-2}}<3$$
Область определения:
$$2x+3\ge 0,\qquad x-2>0$$
$$x\ge -\frac32,\qquad x>2$$
Значит, $$x>2$$.
Так как знаменатель положителен, умножим на $$\sqrt{x-2}$$:
$$\sqrt{2x+3}<3\sqrt{x-2}$$
Возведём в квадрат:
$$2x+3<9(x-2)$$
$$2x+3<9x-18$$
$$7x>21$$
$$x>3$$
Ответ
а) $$\left(1;+\infty\right)$$; б) $$\left(-\infty;-\frac{21}{4}\right)\cup(1;+\infty)$$; в) решений нет; г) $$[2;3)$$; д) $$\left(-\frac52;-\frac32\right]\cup[2;3)$$; е) $$\left(3;+\infty\right)$$.
