Упр.30.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) v(x+3)>v(2x-5); г) v(2x-5)
а) $$\sqrt{x+3}>\sqrt{2x-5}$$
Область определения:
$$x+3\ge 0,\quad 2x-5\ge 0$$
$$x\ge -3,\quad x\ge \frac52$$
Сравним подкоренные выражения:
$$x+3>2x-5$$
$$x<8$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$x\in\left[\frac52;8\right)$$
б) $$\sqrt{x+3}>\sqrt{5-2x}$$
Область определения:
$$x+3\ge 0,\quad 5-2x\ge 0$$
$$x\ge -3,\quad x\le \frac52$$
Сравним подкоренные выражения:
$$x+3>5-2x$$
$$3x>2,\quad x>\frac23$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$x\in\left(\frac23;\frac52\right]$$
в) $$\sqrt{x+12}>x$$
Если $$x<0$$, то неравенство выполняется при всех $$x$$ из ОДЗ, то есть при $$x\ge -12$$.
Если $$x\ge 0$$, можно возвести обе части в квадрат:
$$x+12>x^2$$
$$x^2-x-12<0$$
$$ (x+3)(x-4)<0 $$
$$-3<x<4$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x<4$$.
Объединяя с случаем $$x<0$$ и ОДЗ, имеем:
$$x\in[-12;4)$$
г) $$\sqrt{2x-5}<\sqrt{5x+3}$$
Область определения:
$$2x-5\ge 0,\quad 5x+3\ge 0$$
$$x\ge \frac52,\quad x\ge -\frac35$$
Сравним подкоренные выражения:
$$2x-5<5x+3$$
$$-8<3x,\quad x>-\frac83$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in\left[\frac52;+\infty\right)$$
д) $$\sqrt{5-2x}<\sqrt{5x+3}$$
Область определения:
$$5-2x\ge 0,\quad 5x+3\ge 0$$
$$x\le \frac52,\quad x\ge -\frac35$$
Сравним подкоренные выражения:
$$5-2x<5x+3$$
$$2<7x,\quad x>\frac27$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$x\in\left(\frac27;\frac52\right]$$
е) $$\sqrt{5x+6}<x$$
Так как левая часть неотрицательна, то обязательно $$x>0$$. Тогда можно возвести обе части в квадрат:
$$5x+6<x^2$$
$$x^2-5x-6>0$$
$$ (x+1)(x-6)>0 $$
$$x<-1 \text{ или } x>6$$
С учётом $$x>0$$ остаётся:
$$x>6$$
Проверка ОДЗ: $$5x+6\ge 0$$ выполняется при $$x>6$$.
Итак, $$x\in(6;+\infty)$$.
Ответ
а) $$\left[\frac52;8\right)$$; б) $$\left(\frac23;\frac52\right]$$; в) $$[-12;4)$$; г) $$\left[\frac52;+\infty\right)$$; д) $$\left(\frac27;\frac52\right]$$; е) $$\left(6;+\infty\right)$$.
