Упр.30.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) v(x^2-5x+10)>2; г) v(x^2-5x+15)?3;
б) v(2x^2-12x+17)

1. а) $$\sqrt{x^2-5x+10}>2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-5x+10>4$$

   $$x^2-5x+6>0$$

   $$ (x-2)(x-3)>0 $$

   Отсюда:

   $$x<2 \text{ или } x>3$$

   Ответ: $$(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$

2. б) $$\sqrt{2x^2-12x+17}<x-3$$

   Так как левая часть неотрицательна, то обязательно $$x-3>0$$, то есть $$x>3$$.

   Тогда можно возвести обе части в квадрат:

   $$2x^2-12x+17<(x-3)^2$$

   $$2x^2-12x+17<x^2-6x+9$$

   $$x^2-6x+8<0$$

   $$ (x-2)(x-4)<0 $$

   $$2<x<4$$

   С учётом условия $$x>3$$ получаем:

   $$3<x<4$$

   Ответ: $$\left(3;4\right)$$

3. в) $$\sqrt{x^2-4x-3}\ge 3$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-4x-3\ge 9$$

   $$x^2-4x-12\ge 0$$

   $$ (x+2)(x-6)\ge 0 $$

   $$x\le -2 \text{ или } x\ge 6$$

   Проверим область определения:

   $$x^2-4x-3\ge 0$$

   $$x\le 2-\sqrt7 \text{ или } x\ge 2+\sqrt7$$

   Пересечение с найденным множеством даёт:

   $$x\le -2 \text{ или } x\ge 6$$

   Ответ: $$(-\infty;-2]\cup[6;+\infty)$$

4. г) $$\sqrt{x^2-5x+15}\le 3$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-5x+15\le 9$$

   $$x^2-5x+6\le 0$$

   $$ (x-2)(x-3)\le 0 $$

   $$2\le x\le 3$$

   Проверка области определения не требуется, так как

   $$x^2-5x+15=\left(x-\frac52\right)^2+\frac{35}{4}>0$$

   при всех $$x$$.

   Ответ: $$[2;3]$$

5. д) $$\sqrt{2x^2-16x+33}\ge x-5$$

   Если $$x-5\le 0$$, то неравенство выполняется автоматически, так как левая часть неотрицательна. Значит, достаточно рассмотреть $$x\le 5$$.

   При $$x>5$$ возведём обе части в квадрат:

   $$2x^2-16x+33\ge (x-5)^2$$

   $$2x^2-16x+33\ge x^2-10x+25$$

   $$x^2-6x+8\ge 0$$

   $$ (x-2)(x-4)\ge 0 $$

   $$x\le 2 \text{ или } x\ge 4$$

   С учётом $$x>5$$ получаем все $$x>5$$.

   Объединяя с случаем $$x\le 5$$, имеем:

   Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$

6. е) $$\sqrt{36-x-12x^2}<5$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$36-x-12x^2<25$$

   $$12x^2+x-11>0$$

   $$D=1+528=529,\quad \sqrt D=23$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 23}{24}$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{11}{12}$$

   Тогда:

   $$12x^2+x-11>0 \iff x<-1 \text{ или } x>\frac{11}{12}$$

   Проверим область определения:

   $$36-x-12x^2\ge 0$$

   $$12x^2+x-36\le 0$$

   $$D=1+1728=1729$$

   $$x=\frac{-1\pm \sqrt{1729}}{24}$$

   Следовательно,

   $$\frac{-1-\sqrt{1729}}{24}\le x\le \frac{-1+\sqrt{1729}}{24}$$

   Пересечение с условием $$x<-1$$ или $$x>\frac{11}{12}$$ даёт:

   Ответ: $$\left[\frac{-1-\sqrt{1729}}{24};-1\right)\cup\left(\frac{11}{12};\frac{-1+\sqrt{1729}}{24}\right]$$