Упр.30.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
а) $$\left(\log_{0,5}(x)-19\right)^{11}>\left(8\log_{0,5}(x)+9\right)^{11}$$;
б) $$\left(3-5\log_{0,125}(x)\right)^{15}? \left(\log_{0,125}(x)+7\right)^{15}$$.
а) Так как показатель степени $$11$$ — нечётный, то можно сравнить основания:
$$(\log_{0,5} x — 19)^{11} > (8\log_{0,5} x + 9)^{11}$$
$$\log_{0,5} x — 19 > 8\log_{0,5} x + 9$$
$$-7\log_{0,5} x > 28$$
$$\log_{0,5} x < -4$$
Так как основание логарифма $$0{,}5<1$$, знак неравенства при переходе к аргументу меняется:
$$x > (0{,}5)^{-4} = 16$$
Следовательно,
$$x \in (16; +\infty)$$
б) Показатель степени $$15$$ тоже нечётный, значит:
$$(3 — 5\log_{0,125} x)^{15} \le (\log_{0,125} x + 7)^{15}$$
$$3 — 5\log_{0,125} x \le \log_{0,125} x + 7$$
$$-6\log_{0,125} x \le 4$$
$$\log_{0,125} x \ge -\frac{2}{3}$$
Так как $$0{,}125=\frac18<1$$, получаем:
$$x \le \left(\frac18\right)^{-2/3}$$
$$\left(\frac18\right)^{-2/3} = 8^{2/3} = 4$$
С учётом области определения $$x>0$$:
$$x \in (0; 4]$$
Ответ
а) $$(16; +\infty)$$;
б) $$(0; 4]$$.
