Упр.30.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) (log_0,5(x)-19)^11>(8log_0,5(x)+9)^11;
б) (3-5log_0,125(x))^15?(log_0,125(x)+7)^15.

Подробный ответ

а) Так как показатель степени $$11$$ — нечётный, то можно сравнить основания:

$$ (\log_{0,5} x — 19)^{11} > (8\log_{0,5} x + 9)^{11} $$
$$ \log_{0,5} x — 19 > 8\log_{0,5} x + 9 $$
$$ -7\log_{0,5} x > 28 $$
$$ \log_{0,5} x < -4 $$

Так как основание логарифма $$0{,}5<1$$, знак неравенства при переходе к аргументу меняется:

$$ x > (0{,}5)^{-4} = 16 $$

Следовательно,

$$ x \in (16; +\infty) $$

б) Показатель степени $$15$$ тоже нечётный, значит:

$$ (3 — 5\log_{0,125} x)^{15} \le (\log_{0,125} x + 7)^{15} $$
$$ 3 — 5\log_{0,125} x \le \log_{0,125} x + 7 $$
$$ -6\log_{0,125} x \le 4 $$
$$ \log_{0,125} x \ge -\frac{2}{3} $$

Так как $$0{,}125=\frac18<1$$, получаем:

$$ x \le \left(\frac18\right)^{-2/3} $$
$$ \left(\frac18\right)^{-2/3} = 8^{2/3} = 4 $$

С учётом области определения $$x>0$$:

$$ x \in (0; 4] $$