Упр.30.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите систему или совокупность неравенств:

а) $$\left\{\begin{array}{l}(x-2)^3?27,\\5x-4?9+x\end{array}\right.$$

б) $$\left[\begin{array}{l}(x-2)^3?27,\\5x-4?9+x\end{array}\right.$$

в) $$\left\{\begin{array}{l}(x-1)(x^2+x+1)?26,\\x^2-121>0\end{array}\right.$$

г) $$\left[\begin{array}{l}(x-1)(x^2+x+1)?26,\\x^2-121>0\end{array}\right.$$

1. а)

   $$\begin{cases} (x-2)^3 \ge 27,\\ 5x-4 \le 9+x. \end{cases}$$

   $$(x-2)^3 \ge 27 \Rightarrow x-2 \ge 3 \Rightarrow x \ge 5.$$

   $$5x-4 \le 9+x \Rightarrow 4x \le 13 \Rightarrow x \le \frac{13}{4}.$$

   Общих решений нет, так как $$x \ge 5$$ и $$x \le \frac{13}{4}$$ одновременно выполняться не могут.

2. б)

   $$\begin{cases} (x-2)^3 \ge 27,\\ 5x-4 \le 9+x. \end{cases}$$

   Для совокупности достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из неравенств.

   $$(x-2)^3 \ge 27 \Rightarrow x \ge 5,$$
   $$5x-4 \le 9+x \Rightarrow x \le \frac{13}{4}.$$

   Значит,
   $$(-\infty;\frac{13}{4}] \cup [5;+\infty).$$

3. в)

   $$\begin{cases} (x-1)(x^2+x+1) \le 26,\\ x^2-121>0. \end{cases}$$

   Так как
   $$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1,$$
   то первое неравенство принимает вид
   $$x^3-1 \le 26 \Rightarrow x^3 \le 27 \Rightarrow x \le 3.$$

   Второе неравенство:
   $$x^2-121>0 \Rightarrow (x-11)(x+11)>0 \Rightarrow x<-11 \text{ или } x>11.$$

   Пересечение решений:
   $$(-\infty;-11).$$

4. г)

   $$\begin{cases} (x-1)(x^2+x+1) \le 26,\\ x^2-121>0. \end{cases}$$

   Как и в пункте в),
   $$x \le 3,$$
   а также
   $$x<-11 \text{ или } x>11.$$

   Для совокупности получаем:
   $$(-\infty;3] \cup (11;+\infty).$$

Ответ

а) решений нет;
б) $$(-\infty;\frac{13}{4}] \cup [5;+\infty);$$
в) $$(-\infty;-11);$$
г) $$(-\infty;3] \cup (11;+\infty).$$