Упр.30.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$(i+1)^2\cdot i^7$$; в) $$(1-i)^4\cdot i^{-3}$$; б) $$(2+3i)^2\cdot i^{11}$$; г) $$(2-3i)^{-2}\cdot i^{-3}$$.
2. Установите, равносильны ли данные неравенства: а) $$\frac{1}{\sqrt{x-1}}>1$$ и $$x-1>1$$; г) $$\frac{1}{\sqrt{x-1}}<1$$ и $$x>2$$; б) $$\sqrt{3^x-2}>1$$ и $$x>1$$; д) $$\sqrt{3^x-2}<1$$ и $$x<1$$; в) $$\log_{0,1}(x)>1$$ и $$x<0,1$$; е) $$\frac{1}{\lg(x)}>1$$ и $$x<10$$.

1. Вычислим значения выражений.

а) $$(i+1)^2\cdot i^7 = (1+2i+i^2)\cdot i^7 = 2i\cdot i^7 = 2i^8 = 2;$$

б) $$(2+3i)^2\cdot i^{11} = (4+12i+9i^2)\cdot i^{11} = (-5+12i)\cdot i^3 = (-5+12i)(-i)=12+5i;$$

в) $$(1-i)^4\cdot i^{-3} = \bigl((1-i)^2\bigr)^2\cdot \frac{1}{i^3} = (-2i)^2\cdot \frac{1}{i^3} = 4i^2\cdot i = -4i;$$

г) $$(2-3i)^{-2}\cdot i^{-3} = \frac{i^4\cdot i^{-3}}{(2-3i)^2} = \frac{i}{4-12i-9} = \frac{i}{-5-12i} = -\frac{i(5-12i)}{25+144} = \frac{12+5i}{169}.$$

2. Установим, равносильны ли неравенства.

1. а) $$\frac{1}{\sqrt{x-1}} > 1 \quad \text{и} \quad x-1>1.$$

   Из первого неравенства:

   $$1 > \sqrt{x-1}; \quad x-1<1.$$

   Получаем разные условия, значит, неравенства неравносильны.

   Ответ: нет.

2. б) $$\sqrt{3^x-2} > 1 \quad \text{и} \quad x>1.$$

   Из первого неравенства:

   $$3^x-2>1; \quad 3^x>3; \quad x>1.$$

   Неравенства равносильны.

   Ответ: да.

3. в) $$\log_{0,1}x>1 \quad \text{и} \quad x<0,1.$$

   Из первого неравенства:

   $$0<x<0,1.$$

   Это не совпадает со вторым неравенством, значит, неравносильны.

   Ответ: нет.

4. г) $$\frac{1}{\sqrt{x-1}} < 1 \quad \text{и} \quad x>2.$$

   Из первого неравенства:

   $$1<\sqrt{x-1}; \quad x-1>1; \quad x>2.$$

   Неравенства равносильны.

   Ответ: да.

5. д) $$\sqrt{3^x-2} < 1 \quad \text{и} \quad x<1.$$

   Из первого неравенства:

   $$0\le 3^x-2<1; \quad 2\le 3^x<3; \quad \log_3 2 \le x<1.$$

   Это не совпадает со вторым неравенством, значит, неравносильны.

   Ответ: нет.

6. е) $$\frac{1}{\lg x} > 1 \quad \text{и} \quad x<10.$$

   Из первого неравенства:

   $$\frac{\lg x-1}{\lg x}<0; \quad 0<\lg x<1; \quad 1<x<10.$$

   Это не совпадает со вторым неравенством, значит, неравносильны.

   Ответ: нет.

Ответ

а) $$2$$; б) $$12+5i$$; в) $$-4i$$; г) $$\frac{12+5i}{169}$$; а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) нет.