Упр.30.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) (i + 1)^2·i^7; в) (1 — i)^4 · i^(-3);
б) (2 + 3i)^2 · i^11; г) (2 — 3i)^(-2) · i^(-3). Установите, равносильны ли данные неравенства:
а) 1/v(x-1)>1 и x-1>1; г) 1/v(x-1)<1 и x>2;
б) v(3^x-2)>1 и x>1; д) v(3^x-2)<1 и x<1; в) log_0,1(x)>1 и x<0,1; е) 1/lg(x)>1 и x<10.

Подробный ответ

1. Вычислим значения выражений.

а) $$ (i+1)^2\cdot i^7 = (1+2i+i^2)\cdot i^7 = 2i\cdot i^7 = 2i^8 = 2; $$

б) $$ (2+3i)^2\cdot i^{11} = (4+12i+9i^2)\cdot i^{11} = (-5+12i)\cdot i^3 = (-5+12i)(-i)=12+5i; $$

в) $$ (1-i)^4\cdot i^{-3} = \bigl((1-i)^2\bigr)^2\cdot \frac{1}{i^3} = (-2i)^2\cdot \frac{1}{i^3} = 4i^2\cdot i = -4i; $$

г) $$ (2-3i)^{-2}\cdot i^{-3} = \frac{i^4\cdot i^{-3}}{(2-3i)^2} = \frac{i}{4-12i-9} = \frac{i}{-5-12i} = -\frac{i(5-12i)}{25+144} = \frac{12+5i}{169}. $$

2. Установим, равносильны ли неравенства.

а) $$ \frac{1}{\sqrt{x-1}} > 1 \quad \text{и} \quad x-1>1. $$
Из первого неравенства:
$$ 1 > \sqrt{x-1}; \quad x-1<1. $$
Получаем разные условия, значит, неравенства неравносильны.
Ответ: нет.
б) $$ \sqrt{3^x-2} > 1 \quad \text{и} \quad x>1. $$
Из первого неравенства:
$$ 3^x-2>1; \quad 3^x>3; \quad x>1. $$
Неравенства равносильны.
Ответ: да.
в) $$ \log_{0,1}x>1 \quad \text{и} \quad x<0,1. $$
Из первого неравенства:
$$ 0<x<0,1. $$
Это не совпадает со вторым неравенством, значит, неравносильны.
Ответ: нет.
г) $$ \frac{1}{\sqrt{x-1}} < 1 \quad \text{и} \quad x>2. $$
Из первого неравенства:
$$ 1<\sqrt{x-1}; \quad x-1>1; \quad x>2. $$
Неравенства равносильны.
Ответ: да.
д) $$ \sqrt{3^x-2} < 1 \quad \text{и} \quad x<1. $$
Из первого неравенства:
$$ 0\le 3^x-2<1; \quad 2\le 3^x<3; \quad \log_3 2 \le x<1. $$
Это не совпадает со вторым неравенством, значит, неравносильны.
Ответ: нет.
е) $$ \frac{1}{\lg x} > 1 \quad \text{и} \quad x<10. $$
Из первого неравенства:
$$ \frac{\lg x-1}{\lg x}<0; \quad 0<\lg x<1; \quad 1<x<10. $$
Это не совпадает со вторым неравенством, значит, неравносильны.
Ответ: нет.