Упр.30.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {x/(x+2)-24/(x+2)^2<0, -5x<15}; б) [x/(x+2)-24/(x+2)^2<0, -5x<15]; в) {(x^2-1,5x-7)/(x-3)^2?0, x^2<25}; г) [(x^2-1,5x-7)/(x-3)^2?0, x^2<25].

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} \dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\ -5x<15 \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$\dfrac{x(x+2)-24}{(x+2)^2}<0$$ $$\dfrac{x^2+2x-24}{(x+2)^2}<0$$ $$\dfrac{(x+6)(x-4)}{(x+2)^2}<0$$
Так как $$ (x+2)^2>0 $$ при $$x\ne -2$$, то
$$(x+6)(x-4)<0,\quad x\ne -2$$ $$-6<x<4,\quad x\ne -2$$
Второе неравенство:
$$-5x<15$$
$$x>-3$$
Пересечение решений:
$$(-6;4)\cap(-3;+\infty)=(-3;-2)\cup(-2;4)$$
б)
$$\begin{cases} \dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\ -5x<15 \end{cases}$$
Первое неравенство решается так же:
$$\dfrac{(x+6)(x-4)}{(x+2)^2}<0$$
$$-6<x<4,\quad x\ne -2$$
Второе неравенство:
$$-5x<15$$
$$x>-3$$
Пересечение решений:
$$(-6;4)\cap(-3;+\infty)=(-3;-2)\cup(-2;4)$$
в)
$$\begin{cases} \dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}\ge 0,\\ x^2<25 \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$\dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}\ge 0$$
Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3$$, получаем:
$$x^2-1{,}5x-7\ge 0$$
$$2x^2-3x-14\ge 0$$
$$(2x+4)(x-3{,}5)\ge 0$$
$$(x+2)(2x-7)\ge 0$$
Отсюда:
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \dfrac72,\quad x\ne 3$$
Второе неравенство:
$$x^2<25$$
$$-5<x<5$$
Пересечение решений:
$$(-5;5)\cap\left((-\infty;-2]\cup\left[\dfrac72;+\infty\right)\right)=(-5;-2]\cup\left[\dfrac72;5\right)$$
г)
$$\begin{cases} \dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}\ge 0,\\ x^2<25 \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$\dfrac{(x+2)(2x-7)}{(x-3)^2}\ge 0$$
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \dfrac72,\quad x\ne 3$$
Второе неравенство:
$$-5<x<5$$
Пересечение решений:
$$(-5;5)\cap\left((-\infty;-2]\cup\left[\dfrac72;+\infty\right)\right)=(-5;-2]\cup\left[\dfrac72;5\right)$$