Упр.30.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а)

   $$\begin{cases} \dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\ -5x<15 \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$\dfrac{x(x+2)-24}{(x+2)^2}<0$$ $$\dfrac{x^2+2x-24}{(x+2)^2}<0$$ $$\dfrac{(x+6)(x-4)}{(x+2)^2}<0$$

   Так как $$(x+2)^2>0$$ при $$x\ne -2$$, то

   $$(x+6)(x-4)<0,\quad x\ne -2$$ $$-6<x<4,\quad x\ne -2$$

   Второе неравенство:

   $$-5x<15$$
   $$x>-3$$

   Пересечение решений:

   $$(-6;4)\cap(-3;+\infty)=(-3;-2)\cup(-2;4)$$

2. б)

   $$\begin{cases} \dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\ -5x<15 \end{cases}$$

   Первое неравенство решается так же:

   $$\dfrac{(x+6)(x-4)}{(x+2)^2}<0$$
   $$-6<x<4,\quad x\ne -2$$

   Второе неравенство:

   $$-5x<15$$
   $$x>-3$$

   Пересечение решений:

   $$(-6;4)\cap(-3;+\infty)=(-3;-2)\cup(-2;4)$$

3. в)

   $$\begin{cases} \dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}\ge 0,\\ x^2<25 \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$\dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}\ge 0$$

   Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3$$, получаем:

   $$x^2-1{,}5x-7\ge 0$$
   $$2x^2-3x-14\ge 0$$
   $$(2x+4)(x-3{,}5)\ge 0$$
   $$(x+2)(2x-7)\ge 0$$

   Отсюда:

   $$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \dfrac72,\quad x\ne 3$$

   Второе неравенство:

   $$x^2<25$$
   $$-5<x<5$$

   Пересечение решений:

   $$(-5;5)\cap\left((-\infty;-2]\cup\left[\dfrac72;+\infty\right)\right)=(-5;-2]\cup\left[\dfrac72;5\right)$$

4. г)

   $$\begin{cases} \dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}\ge 0,\\ x^2<25 \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$\dfrac{(x+2)(2x-7)}{(x-3)^2}\ge 0$$
   $$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \dfrac72,\quad x\ne 3$$

   Второе неравенство:

   $$-5<x<5$$

   Пересечение решений:

   $$(-5;5)\cap\left((-\infty;-2]\cup\left[\dfrac72;+\infty\right)\right)=(-5;-2]\cup\left[\dfrac72;5\right)$$

Ответ

а) $$(-3;-2)\cup(-2;4)$$;
б) $$(-3;-2)\cup(-2;4)$$;
в) $$(-5;-2]\cup\left[\dfrac72;5\right)$$;
г) $$(-5;-2]\cup\left[\dfrac72;5\right)$$.