Упр.30.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {x^3<4x, 3x^2-x>5-15x};
б) [x^3<4x, 3x^2-x>5-15x];
в) {(x+5)/(x-7)<1, (3x+4)/(4x-2)>-1};
г) [(x+5)/(x-7)<1, (3x+4)/(4x-2)>-1].

Подробный ответ

а) Решим систему неравенств:
$$ x^3<4x, \qquad 3x^2-x>5-15x $$
Первое неравенство:
$$ x^3-4x<0 $$
$$ x(x^2-4)<0 $$
$$ x(x-2)(x+2)<0 $$
Отсюда:
$$ x<-2 \quad \text{или} \quad 0<x<2 $$
Второе неравенство:
$$ 3x^2-x>5-15x $$
$$ 3x^2+14x-5>0 $$
$$ D=14^2-4\cdot 3\cdot(-5)=196+60=256 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{6} $$
$$ x_1=-5,\qquad x_2=\frac13 $$
Тогда:
$$ ( x+5 )\left(x-\frac13\right)>0 $$
Отсюда:
$$ x<-5 \quad \text{или} \quad x>\frac13 $$
Пересечение решений:
$$ \left((-\infty;-2)\cup(0;2)\right)\cap\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right)\right) =\left(\frac13;2\right) $$
Ответ: $$\left(\frac13;2\right)$$
б) Решим совокупность неравенств:
$$ \begin{cases} x^3<4x,\\ 3x^2-x>5-15x \end{cases} $$
Из пункта а) получаем:
$$ x<-2 \quad \text{или} \quad 0<x<2 $$
$$ x<-5 \quad \text{или} \quad x>\frac13 $$
Объединяем решения:
$$ (-\infty;-2)\cup(0;+\infty) $$
Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)$$
в) Решим систему неравенств:
$$ \begin{cases} \dfrac{x+5}{x-7}<1,\\[4pt] \dfrac{3x+4}{4x-2}>-1 \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ \dfrac{x+5}{x-7}-1<0 $$
$$ \dfrac{x+5-x+7}{x-7}<0 $$
$$ \dfrac{12}{x-7}<0 $$
Значит, $$x<7$$.
Второе неравенство:
$$ \dfrac{3x+4}{4x-2}+1>0 $$
$$ \dfrac{3x+4+4x-2}{4x-2}>0 $$
$$ \dfrac{7x+2}{4x-2}>0 $$
Отсюда:
$$ x<-\frac27 \quad \text{или} \quad x>\frac12 $$
С учётом условия $$x<7$$ получаем:
$$ (-\infty;-\frac27)\cup\left(\frac12;7\right) $$
Ответ: $$(-\infty;-\frac27)\cup\left(\frac12;7\right)$$
г) Решим совокупность неравенств:
$$ \begin{cases} \dfrac{x+5}{x-7}<1,\\[4pt] \dfrac{3x+4}{4x-2}>-1 \end{cases} $$
Первое неравенство даёт:
$$ x<7 $$
Второе неравенство даёт:
$$ x<-\frac27 \quad \text{или} \quad x>\frac12 $$
Так как это совокупность, объединяем решения:
$$ (-\infty;7)\cup\left(-\frac27;+\infty\right)=(-\infty;+\infty) $$
Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$