Упр.30.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Решим систему неравенств:

$$x^3<4x, \qquad 3x^2-x>5-15x$$

Первое неравенство:

$$x^3-4x<0$$

$$x(x^2-4)<0$$

$$x(x-2)(x+2)<0$$

Отсюда:

$$x<-2 \quad \text{или} \quad 0<x<2$$

Второе неравенство:

$$3x^2-x>5-15x$$

$$3x^2+14x-5>0$$

$$D=14^2-4\cdot 3\cdot(-5)=196+60=256$$

$$x_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{6}$$

$$x_1=-5,\qquad x_2=\frac13$$

Тогда:

$$( x+5 )\left(x-\frac13\right)>0$$

Отсюда:

$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>\frac13$$

Пересечение решений:

$$\left((-\infty;-2)\cup(0;2)\right)\cap\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right)\right) =\left(\frac13;2\right)$$

Ответ: $$\left(\frac13;2\right)$$

б) Решим совокупность неравенств:

$$\begin{cases} x^3<4x,\\ 3x^2-x>5-15x \end{cases}$$

Из пункта а) получаем:

$$x<-2 \quad \text{или} \quad 0<x<2$$

$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>\frac13$$

Объединяем решения:

$$(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)$$

Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)$$

в) Решим систему неравенств:

$$\begin{cases} \dfrac{x+5}{x-7}<1,\\[4pt] \dfrac{3x+4}{4x-2}>-1 \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\dfrac{x+5}{x-7}-1<0$$

$$\dfrac{x+5-x+7}{x-7}<0$$

$$\dfrac{12}{x-7}<0$$

Значит, $$x<7$$.

Второе неравенство:

$$\dfrac{3x+4}{4x-2}+1>0$$

$$\dfrac{3x+4+4x-2}{4x-2}>0$$

$$\dfrac{7x+2}{4x-2}>0$$

Отсюда:

$$x<-\frac27 \quad \text{или} \quad x>\frac12$$

С учётом условия $$x<7$$ получаем:

$$(-\infty;-\frac27)\cup\left(\frac12;7\right)$$

Ответ: $$(-\infty;-\frac27)\cup\left(\frac12;7\right)$$

г) Решим совокупность неравенств:

$$\begin{cases} \dfrac{x+5}{x-7}<1,\\[4pt] \dfrac{3x+4}{4x-2}>-1 \end{cases}$$

Первое неравенство даёт:

$$x<7$$

Второе неравенство даёт:

$$x<-\frac27 \quad \text{или} \quad x>\frac12$$

Так как это совокупность, объединяем решения:

$$(-\infty;7)\cup\left(-\frac27;+\infty\right)=(-\infty;+\infty)$$

Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$