Упр.30.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x^2+2?2cos(x); в) x^2+2?2cos(x);
б) 3sin(x)?-(x+?/2)^2-3; г) 3sin(x)?-(x+?/2)^2-3.

Подробный ответ

а) $$x^2+2\ge 2\cos x$$
Рассмотрим функции $$y_1=x^2+2$$ и $$y_2=2\cos x$$.
Имеем:
$$x^2+2\ge 2,$$
так как $$x^2\ge 0$$, и
$$2\cos x\le 2,$$
так как $$\cos x\le 1.$$
Следовательно, для любого $$x$$ выполняется $$x^2+2\ge 2\cos x$$.
б) $$3\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$
Рассмотрим функции $$y_1=3\sin x$$ и $$y_2=-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3.$$
Имеем:
$$3\sin x\ge -3,$$
так как $$\sin x\ge -1,$$ и
$$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3\le -3,$$
так как $$\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2\ge 0.$$
Чтобы неравенство $$3\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$ выполнялось, нужно одновременно иметь
$$3\sin x=-3,\qquad -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3=-3.$$
Отсюда
$$\sin x=-1,\qquad x=-\frac{\pi}{2}.$$
При $$x=-\frac{\pi}{2}$$ действительно получаем равенство.
в) $$x^2+2\le 2\cos x$$
Так как $$x^2+2\ge 2$$, а $$2\cos x\le 2,$$ то для выполнения неравенства необходимо, чтобы
$$x^2+2=2,\qquad 2\cos x=2.$$
Тогда
$$x^2=0 \Rightarrow x=0,$$
и при $$x=0$$ действительно
$$2\cos 0=2.$$
г) $$3\sin x\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$
Имеем:
$$3\sin x\le 3,$$
так как $$\sin x\le 1,$$ и
$$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3\le -3.$$
Правая часть не превосходит $$-3,$$ а левая часть не меньше $$-3$$ только при $$\sin x=-1.$$
Но тогда левая часть равна $$-3,$$ а правая часть равна $$-3$$ только при $$x=-\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно, неравенство выполняется только при $$x=-\frac{\pi}{2}.$$