Упр.30.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство, применяя функционально-графические методы.
   а) $$x^2+2?2\cos(x)$$; б) $$3\sin(x)?-\left(x+\frac{?}{2}\right)^2-3$$; в) $$x^2+2?2\cos(x)$$; г) $$3\sin(x)?-\left(x+\frac{?}{2}\right)^2-3$$.

1. а) $$x^2+2\ge 2\cos x$$

   Рассмотрим функции $$y_1=x^2+2$$ и $$y_2=2\cos x$$.

   Имеем:

   $$x^2+2\ge 2,$$

   так как $$x^2\ge 0$$, и

   $$2\cos x\le 2,$$

   так как $$\cos x\le 1.$$

   Следовательно, для любого $$x$$ выполняется $$x^2+2\ge 2\cos x$$.

2. б) $$3\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$

   Рассмотрим функции $$y_1=3\sin x$$ и $$y_2=-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3.$$

   Имеем:

   $$3\sin x\ge -3,$$

   так как $$\sin x\ge -1,$$ и

   $$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3\le -3,$$

   так как $$\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2\ge 0.$$

   Чтобы неравенство $$3\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$ выполнялось, нужно одновременно иметь

   $$3\sin x=-3,\qquad -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3=-3.$$

   Отсюда

   $$\sin x=-1,\qquad x=-\frac{\pi}{2}.$$

   При $$x=-\frac{\pi}{2}$$ действительно получаем равенство.

3. в) $$x^2+2\le 2\cos x$$

   Так как $$x^2+2\ge 2$$, а $$2\cos x\le 2,$$ то для выполнения неравенства необходимо, чтобы

   $$x^2+2=2,\qquad 2\cos x=2.$$

   Тогда

   $$x^2=0 \Rightarrow x=0,$$

   и при $$x=0$$ действительно

   $$2\cos 0=2.$$

4. г) $$3\sin x\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3$$

   Имеем:

   $$3\sin x\le 3,$$

   так как $$\sin x\le 1,$$ и

   $$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-3\le -3.$$

   Правая часть не превосходит $$-3,$$ а левая часть не меньше $$-3$$ только при $$\sin x=-1.$$

   Но тогда левая часть равна $$-3,$$ а правая часть равна $$-3$$ только при $$x=-\frac{\pi}{2}.$$

   Следовательно, неравенство выполняется только при $$x=-\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$x=-\frac{\pi}{2}$$; в) $$x=0$$; г) $$x=-\frac{\pi}{2}$$.