Упр.30.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) |x|x-1; д) |x+2|?x+2;
в) |x|?3-2x; е) |x|>3x-2.

Подробный ответ

$$|x|Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем
$$x<x+1,$$
что верно при всех $$x\ge 0.$$
2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда
$$-x<x+1$$
$$-2x<1$$
$$x>-\frac12.$$
С учётом условия $$x<0$$ получаем $$-\frac12<x<0.$$
Итак,
$$x>-\frac12.$$
$$|x-1|>x-1$$
Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ и неравенство превращается в
$$x-1>x-1,$$
что неверно.
Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ и тогда
$$1-x>x-1$$
$$2>2x$$
$$x<1.$$
Это условие выполняется при всех $$x<1.$$
$$|x|\le 3-2x$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$3-2x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le \frac32.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x\le 3-2x$$
$$3x\le 3$$
$$x\le 1.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x\le 1.$$
2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x\le 3-2x$$
$$x\le 3.$$
Это верно при всех $$x<0.$$
Итак,
$$x<=1.$$
$$|x+1|\ge 1-x$$
Если $$x\ge -1,$$ то $$|x+1|=x+1,$$ и
$$x+1\ge 1-x$$
$$2x\ge 0$$
$$x\ge 0.$$
Если $$x<-1,$$ то $$|x+1|=-x-1,$$ и
$$-x-1\ge 1-x,$$
что неверно.
Значит, решение:
$$x\ge 0.$$
$$|x+2|\le x+2$$
Неравенство $$|a|\le a$$ выполняется тогда и только тогда, когда $$a\ge 0.$$ Поэтому
$$x+2\ge 0,$$
$$x\ge -2.$$
$$|x|>3x-2$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x>3x-2$$
$$-2x>-2$$
$$x<1.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x<1.$$
2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x>3x-2$$
$$-4x>-2$$
$$x<\frac12.$$
Это верно при всех $$x<0.$$
Итак,
$$x<1.$$