Упр.30.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) log_4(x)<-(x-1)^3; г) log_4(x)?-(x-1)^3; б) log_2(x)?20-x; д) log_2(x)?20-x; в) x+3log_8(x)>6; е) x+3log_8(x)<6.
а) $$\log_4 x<-(x-1)^3$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_4 x$$ и $$g(x)=-(x-1)^3$$.
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$g(x)$$ убывает на $$\left(-\infty;+\infty\right)$$.
Они пересекаются в точке $$x=1$$, так как
$$\log_4 1=0,\qquad -(1-1)^3=0.$$
Так как левая функция возрастает, а правая убывает, то неравенство выполняется при $$0<x<1$$.
б) $$\log_2 x\le 20-x$$
Пусть $$f(x)=\log_2 x$$ и $$g(x)=20-x$$.
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а $$g(x)$$ убывает на $$\left(-\infty;+\infty\right)$$.
Найдём точку пересечения:
$$\log_2 16=4,\qquad 20-16=4.$$
Значит, при $$x=16$$ графики пересекаются, и из-за монотонности неравенство выполняется при $$0<x\le 16$$.
в) $$x+3\log_8 x>6$$
Перепишем так:
$$3\log_8 x>6-x.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=3\log_8 x$$ и $$g(x)=6-x$$.
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а $$g(x)$$ убывает на $$\left(-\infty;+\infty\right)$$.
Точка пересечения:
$$\log_8 4=\frac{2}{3},\qquad 3\log_8 4=2,\qquad 6-4=2.$$
Следовательно, неравенство выполняется при $$x>4$$.
г) $$\log_4 x\ge -(x-1)^3$$
Функции те же, что и в пункте а), но знак неравенства нестрогий.
Точка пересечения одна: $$x=1$$.
Так как $$\log_4 x$$ возрастает, а $$-(x-1)^3$$ убывает, то неравенство выполняется при $$x\ge 1$$.
д) $$\log_2 x\ge 20-x$$
Функции те же, что и в пункте б), и они пересекаются при $$x=16$$.
Так как знак неравенства нестрогий, получаем $$x\ge 16$$.
е) $$x+3\log_8 x<6$$
Перепишем:
$$3\log_8 x<6-x.$$
Точка пересечения графиков та же, что и в пункте в): $$x=4$$.
Поскольку $$f(x)=3\log_8 x$$ возрастает, а $$g(x)=6-x$$ убывает, то неравенство выполняется при $$0<x<4$$.
Ответ
а) $$\left(0;1\right)$$; б) $$\left(0;16\right]$$; в) $$\left(4;+\infty\right)$$; г) $$\left[1;+\infty\right)$$; д) $$\left[16;+\infty\right)$$; е) $$\left(0;4\right)$$.
