Упр.30.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) вычислите |z_1 — z_0|;
б) докажите, что |z_(k+1) — z_k| не зависит от k;
в) вычислите |z_2 — z_1|;
г) докажите, что |z_(k+2) — z_k| не зависит от k. Решите неравенство, применяя функционально-графические методы:
а) 2^x>14-2x; г) 2^x<14-2x;
б) 2^x-1
в) 2^x<|x-3|; е) 2^x?|x-3|.
Пусть
$$z_k=R\left(\cos\frac{\alpha+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\alpha+2\pi k}{n}\right),\qquad -\pi<\alpha\le \pi,\quad k=0,1,\dots,n-1.$$
Точки $z_k$ лежат на окружности радиуса $R$, а разность аргументов соседних точек равна
$$\Delta\varphi=\frac{2\pi}{n}.$$
Расстояние между двумя точками окружности, соответствующими центральному углу $\Delta\varphi$, равно
$$d=2R\sin\frac{\Delta\varphi}{2}.$$
а)
Для точек $z_0$ и $z_1$ имеем
$$\Delta\varphi=\frac{\alpha+2\pi}{n}-\frac{\alpha}{n}=\frac{2\pi}{n}.$$
Тогда
$$|z_1-z_0|=2R\sin\frac{\pi}{n}.$$
б)
Для любых соседних точек $z_k$ и $z_{k+1}$
$$\Delta\varphi=\frac{\alpha+2\pi(k+1)}{n}-\frac{\alpha+2\pi k}{n}=\frac{2\pi}{n}.$$
Следовательно,
$$|z_{k+1}-z_k|=2R\sin\frac{\pi}{n},$$
то есть это значение не зависит от $k$.
в)
Для точек $z_1$ и $z_2$
$$\Delta\varphi=\frac{\alpha+4\pi}{n}-\frac{\alpha+2\pi}{n}=\frac{2\pi}{n}.$$
Значит,
$$|z_2-z_1|=2R\sin\frac{\pi}{n}.$$
г)
Для точек $z_k$ и $z_{k+2}$
$$\Delta\varphi=\frac{\alpha+2\pi(k+2)}{n}-\frac{\alpha+2\pi k}{n}=\frac{4\pi}{n}.$$
Тогда
$$|z_{k+2}-z_k|=2R\sin\frac{2\pi}{n},$$
и это значение не зависит от $k$.
Решим неравенства функционально-графическим методом.
а) $$2^x>14-2x.$$
Функция $$f(x)=2^x$$ возрастает, а $$g(x)=14-2x$$ убывает. Они пересекаются при
$$2^x=14-2x.$$
Проверим $x=3$:
$$2^3=8,\qquad 14-2\cdot 3=8.$$
Значит, точка пересечения одна, и неравенство выполняется при
$$x>3.$$
б) $$2^x-1<\sqrt{x}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Графики функций $$y=2^x-1$$ и $$y=\sqrt{x}$$ пересекаются в точках $x=0$ и $x=1$. Между ними выполняется неравенство
$$0<x<1.$$
в) $$2^x<|x-3|.$$
Графики функций $$y=2^x$$ и $$y=|x-3|$$ пересекаются при $x=1$. При $x<1$ график экспоненты ниже графика модуля, а при $x>1$ — выше. Поэтому
$$x<1.$$
г) $$2^x<14-2x.$$
Точка пересечения та же: $$x=3.$$
Так как слева функция возрастает, а справа убывает, то неравенство выполняется при
$$x<3.$$
д) $$2^x-1>\sqrt{x}.$$
С учётом области определения $$x\ge 0$$ и точек пересечения $x=0$ и $x=1$ получаем
$$x>1.$$
е) $$2^x\ge |x-3|.$$
Графики пересекаются при $x=1$, а при $x\ge 1$ график экспоненты не ниже графика модуля. Следовательно,
$$x\ge 1.$$
Ответ
а) $$|z_1-z_0|=2R\sin\frac{\pi}{n};$$ б) $$|z_{k+1}-z_k|=2R\sin\frac{\pi}{n};$$ в) $$|z_2-z_1|=2R\sin\frac{\pi}{n};$$ г) $$|z_{k+2}-z_k|=2R\sin\frac{2\pi}{n}.$$
а) $$x>3;$$ б) $$0<x<1;$$ в) $$x<1;$$ г) $$x<3;$$ д) $$x>1;$$ е) $$x\ge 1.$$
