Упр.30.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) (i — 1)^2; в) (i + 1)^4;
б) (3 — 2i)^2; г) (3 + 2i)^5. Установите, равносильны ли данные неравенства:
а) cos(x)-3^(x^2+2x-3)?11 и cos(x)?11+3^(x^2+2x-3);
б) cos(x)/v(x^2+1)?1 и cos(x)?v(x^2+1);
в) v(x^2+4x+4)·log_3(x^2-4x-5)?0 и log_3(x^2-4x-5)?0;
г) sin(x)+log_3(x^2+2x-3)?5 и sin(x)?5-log_3(x^2+2x-2);
д) sin(x)/v(x^2+2)?1 и sin(x)?v(x^2+2);
е) 10^(3x-5)·ln(x^2+4x+4)>0 и ln(x^2+4x+4)>0.

Подробный ответ

Вычислим значения выражений:

а) $$\left(i-1\right)^2=i^2-2i+1=-1-2i+1=-2i;$$

б) $$\left(3-2i\right)^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i;$$

в) $$\left(i+1\right)^4=\left(\left(i+1\right)^2\right)^2=\left(i^2+2i+1\right)^2=\left(2i\right)^2=-4;$$

г) $$\left(3+2i\right)^5=\left(3+2i\right)^4\left(3+2i\right)=\left(\left(3+2i\right)^2\right)^2\left(3+2i\right).$$
Сначала найдём квадрат:
$$\left(3+2i\right)^2=9+12i+4i^2=5+12i.$$
Тогда
$$\left(5+12i\right)^2=25+120i+144i^2=-119+120i,$$
и
$$\left(3+2i\right)^5=\left(-119+120i\right)\left(3+2i\right)=-357+122i.$$

Проверим, равносильны ли неравенства.

а) $$\cos x-3^{x^2+2x-3}\ge 11$$
равносильно
$$\cos x\ge 11+3^{x^2+2x-3},$$
так как к обеим частям прибавили одно и то же выражение. Значит, да.

б) $$\frac{\cos x}{\sqrt{x^2+1}}\le 1.$$
Так как $$\sqrt{x^2+1}>0,$$ можно умножить обе части на положительное число:
$$\cos x\le \sqrt{x^2+1}.$$
Следовательно, неравенства равносильны.

в) $$\sqrt{x^2+4x+4}\cdot \log_3(x^2-4x-5)\le 0.$$
Так как
$$\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{(x+2)^2}\ge 0,$$
то произведение не больше нуля тогда и только тогда, когда
$$\log_3(x^2-4x-5)\le 0.$$
Но при этом нужно учитывать область определения:
$$x^2-4x-5>0.$$
Следовательно, данные неравенства не равносильны.

г) $$\sin x+\log_3(x^2+2x-3)\le 5$$
равносильно
$$\sin x\le 5-\log_3(x^2+2x-3),$$
так как вычли одно и то же выражение. Значит, да.

д) $$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2}}\le 1.$$
Поскольку $$\sqrt{x^2+2}>0,$$ умножаем на положительное число:
$$\sin x\le \sqrt{x^2+2}.$$
Следовательно, неравенства равносильны.

е) $$10^{3x-5}\cdot \ln(x^2+4x+4)>0.$$
Так как
$$10^{3x-5}>0,$$
то знак произведения определяется только логарифмом, и неравенство равносильно
$$\ln(x^2+4x+4)>0.$$
Значит, да.