Упр.30.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите:
а) $$\left(i-1\right)^2$$;
б) $$\left(3-2i\right)^2$$;
в) $$\left(i+1\right)^4$$;
г) $$\left(3+2i\right)^5$$.
Установите, равносильны ли данные неравенства:
а) $$\cos(x)-3^{x^2+2x-3}\geq 11$$ и $$\cos(x)\geq 11+3^{x^2+2x-3}$$;
б) $$\frac{\cos(x)}{\sqrt{x^2+1}}\geq 1$$ и $$\cos(x)\geq\sqrt{x^2+1}$$;
в) $$\sqrt{x^2+4x+4}\cdot\log_3(x^2-4x-5)\leq 0$$ и $$\log_3(x^2-4x-5)\leq 0$$;
г) $$\sin(x)+\log_3(x^2+2x-3)\leq 5$$ и $$\sin(x)\leq 5-\log_3(x^2+2x-2)$$;
д) $$\frac{\sin(x)}{\sqrt{x^2+2}}\leq 1$$ и $$\sin(x)\leq\sqrt{x^2+2}$$;
е) $$10^{3x-5}\cdot\ln(x^2+4x+4)>0$$ и $$\ln(x^2+4x+4)>0$$.

Подробный ответ

Вычислим значения выражений:

а) $$\left(i-1\right)^2=i^2-2i+1=-1-2i+1=-2i;$$

б) $$\left(3-2i\right)^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i;$$

в) $$\left(i+1\right)^4=\left(\left(i+1\right)^2\right)^2=\left(i^2+2i+1\right)^2=\left(2i\right)^2=-4;$$

г) $$\left(3+2i\right)^5=\left(3+2i\right)^4\left(3+2i\right)=\left(\left(3+2i\right)^2\right)^2\left(3+2i\right).$$
Сначала найдём квадрат:
$$\left(3+2i\right)^2=9+12i+4i^2=5+12i.$$
Тогда
$$\left(5+12i\right)^2=25+120i+144i^2=-119+120i,$$
и
$$\left(3+2i\right)^5=\left(-119+120i\right)\left(3+2i\right)=-357+122i.$$

Проверим, равносильны ли неравенства.

а) $$\cos x-3^{x^2+2x-3}\ge 11$$
равносильно
$$\cos x\ge 11+3^{x^2+2x-3},$$
так как к обеим частям прибавили одно и то же выражение. Значит, да.

б) $$\frac{\cos x}{\sqrt{x^2+1}}\le 1.$$
Так как $$\sqrt{x^2+1}>0,$$ можно умножить обе части на положительное число:
$$\cos x\le \sqrt{x^2+1}.$$
Следовательно, неравенства равносильны.

в) $$\sqrt{x^2+4x+4}\cdot \log_3(x^2-4x-5)\le 0.$$
Так как
$$\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{(x+2)^2}\ge 0,$$
то произведение не больше нуля тогда и только тогда, когда
$$\log_3(x^2-4x-5)\le 0.$$
Но при этом нужно учитывать область определения:
$$x^2-4x-5>0.$$
Следовательно, данные неравенства не равносильны.

г) $$\sin x+\log_3(x^2+2x-3)\le 5$$
равносильно
$$\sin x\le 5-\log_3(x^2+2x-3),$$
так как вычли одно и то же выражение. Значит, да.

д) $$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2}}\le 1.$$
Поскольку $$\sqrt{x^2+2}>0,$$ умножаем на положительное число:
$$\sin x\le \sqrt{x^2+2}.$$
Следовательно, неравенства равносильны.

е) $$10^{3x-5}\cdot \ln(x^2+4x+4)>0.$$
Так как
$$10^{3x-5}>0,$$
то знак произведения определяется только логарифмом, и неравенство равносильно
$$\ln(x^2+4x+4)>0.$$
Значит, да.