Упр.3.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

a) D(f)=(-?; -2)?(-2; +?), функция непрерывна на промежутках (-?; -2) и (-2; +?), f(0)=0, (x>+?)lim(f(x))=-2, (x>-?)lim(f(x))=-2;
б) D(f)=(-?; 1)?(1; +?), функция непрерывна на промежутках (-?; 1) и (1; +?), f(0)=-3, (x>+?)lim(f(x))=3, (x>-?)lim(f(x))=0.

1. а) Область определения $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$ означает, что в точке $$x=-2$$ функция не определена, значит на графике нужно изобразить разрыв в этой точке.

   Условие непрерывности на промежутках $$(-\infty;-2)$$ и $$(-2;+\infty)$$ означает, что на каждом из этих промежутков график можно провести без разрывов.

   Так как $$f(0)=0$$, график должен проходить через точку $$\left(0;0\right)$$.

   Из условий

   $$\lim_{x\to-\infty} f(x)=-2,\qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=-2$$

   следует, что при удалении влево и вправо график должен приближаться к горизонтальной прямой $$y=-2$$.

   Значит, эскиз можно построить так: непрерывная кривая на каждом из промежутков $$(-\infty;-2)$$ и $$(-2;+\infty)$$, проходящая через точку $$\left(0;0\right)$$ и имеющая горизонтальную асимптоту $$y=-2$$; в точке $$x=-2$$ — разрыв.

2. б) Здесь $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$, значит функция не определена при $$x=1$$.

   Функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;1)$$ и $$ (1;+\infty)$$.

   Так как $$f(0)=-3$$, график проходит через точку $$\left(0;-3\right)$$.

   Из условий

   $$\lim_{x\to-\infty} f(x)=3,\qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=0$$

   следует, что слева график должен приближаться к прямой $$y=3$$, а справа — к прямой $$y=0$$.

   Следовательно, эскиз состоит из двух непрерывных ветвей, разделённых разрывом при $$x=1$$: левая ветвь проходит через точку $$\left(0;-3\right)$$ и стремится к $$y=3$$ при $$x\to-\infty$$, правая ветвь стремится к $$y=0$$ при $$x\to+\infty$$.

Ответ

а) График с разрывом при $$x=-2$$, проходящий через точку $$\left(0;0\right)$$ и имеющий горизонтальную асимптоту $$y=-2$$ при $$x\to\pm\infty$$.

б) График с разрывом при $$x=1$$, проходящий через точку $$\left(0;-3\right)$$, с асимптотами $$y=3$$ при $$x\to-\infty$$ и $$y=0$$ при $$x\to+\infty$$.