Дополнительная задача 3 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=vx$$:
   а) для $$a>0$$ найдите $$f(a)$$;
   б) для $$a>0$$ найдите $$f'(a)$$;
   в) составьте уравнение касательной при $$x=a$$;
   г) найдите точку пересечения касательной с осью абсцисс;
   д) докажите, что подкасательная в два раза больше абсциссы точки касания;
   е) объясните, как построить касательную с помощью циркуля и линейки.

Пусть $$f(x)=\sqrt{x}, \quad a>0.$$ Тогда:

1. $$f(a)=\sqrt{a}.$$

2. Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}.$$

3. Уравнение касательной к графику функции в точке $$x=a$$:

   $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

   $$y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)$$

   $$y=\frac{2a+x-a}{2\sqrt{a}}=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}.$$

4. Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс, положив $$y=0$$:

   $$\frac{x+a}{2\sqrt{a}}=0 \Rightarrow x=-a.$$

   Точка пересечения: $$(-a;0).$$

5. Подкасательная равна отрезку на оси $$Ox$$ от точки касания до точки пересечения касательной с осью абсцисс:

   $$l=a-(-a)=2a.$$

   Значит, подкасательная в два раза больше абсциссы точки касания.

6. Построение касательной циркулем и линейкой:

   • в точке касания опустить перпендикуляр на ось $$Ox$$;
   • на оси $$Ox$$ от основания перпендикуляра отложить влево отрезок длиной $$2a$$;
   • соединить полученную точку с точкой касания — эта прямая и есть касательная.

Ответ

$$f(a)=\sqrt{a}, \quad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}, \quad y=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}, \quad (-a;0), \quad l=2a.$$