Дополнительная задача 3 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) a=3; в) a=0; д) a=1,12;
б) a=2,01; г) a=0,99; е) a=1.
Рассмотрим последовательность $$x_n=1+\frac{1}{n},\ n\in \mathbb{N}.$$ Тогда
$$x_1=2,\quad x_2=\frac32,\quad x_3=\frac43,\ \ldots$$
Все члены последовательности удовлетворяют неравенству
$$1<x_n\le 2.$$
Значит, чтобы в окрестности точки $$a$$ радиусом $$r$$ не было ни одного члена последовательности, нужно, чтобы интервал $$\bigl(a-r,\ a+r\bigr)$$ не пересекался с множеством значений последовательности.
а) $$a=3.$$
Ближайший член последовательности — $$2$$. Поэтому
$$3-r\ge 2,$$
откуда
$$r\le 1.$$
Наибольшее значение: $$r=1.$$
б) $$a=2{,}01.$$
Ближайший член последовательности — $$2$$. Тогда
$$2{,}01-r\ge 2,$$
откуда
$$r\le 0{,}01.$$
Наибольшее значение: $$r=0{,}01.$$
в) $$a=0.$$
Так как все члены последовательности больше $$1$$, то достаточно, чтобы
$$0+r\le 1,$$
то есть
$$r\le 1.$$
Наибольшее значение: $$r=1.$$
г) $$a=0{,}99.$$
Нужно, чтобы
$$0{,}99+r\le 1,$$
откуда
$$r\le 0{,}01.$$
Наибольшее значение: $$r=0{,}01.$$
д) $$a=1{,}12.$$
Проверим ближайшие члены последовательности:
$$x_8=1+\frac18=\frac98=1{,}125>1{,}12,$$
$$x_9=1+\frac19=\frac{10}{9}\approx 1{,}111\ldots<1{,}12.$$
Расстояния до точки $$a$$:
$$\frac98-1{,}12=0{,}005,$$
$$1{,}12-\frac{10}{9}\approx 0{,}0089\ldots$$
Минимальное расстояние равно $$0{,}005$$, значит
$$r=0{,}005.$$
е) $$a=1.$$
Точка $$1$$ является пределом последовательности $$x_n=1+\frac1n$$, поэтому в любой окрестности точки $$1$$ найдутся члены последовательности. Следовательно, такого радиуса не существует.
Ответ
а) $$1$$; б) $$0{,}01$$; в) $$1$$; г) $$0{,}01$$; д) $$0{,}005$$; е) не существует.
