Упр.3.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: При каких значениях параметра p уравнение |4/x — 3| + 1 = px имеет ровно три различных корня на промежутке (0; +?)?

Рассмотрим уравнение

$$\left|\frac{4}{x}-3\right|+1=px.$$

Нужно, чтобы оно имело ровно три различных корня при $$x>0$$.

Построим левую часть как функцию

$$y=\left|\frac{4}{x}-3\right|+1.$$

Она состоит из двух ветвей:

$$\frac{4}{x}-3\ge 0 \;\; \Longleftrightarrow \;\; x\le \frac{4}{3},$$

тогда

$$y=\frac{4}{x}-2.$$

Если же

$$x>\frac{4}{3},$$

то

$$y=4-\frac{4}{x}.$$

Прямая $$y=px$$ должна пересечь график левой части ровно в трёх точках на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$

Первая граница получается, когда прямая проходит через точку излома графика:

$$x=\frac{4}{3}, \qquad \left|\frac{4}{x}-3\right|+1=1,$$

значит

$$1=p\cdot \frac{4}{3}, \qquad p=\frac{3}{4}.$$

Вторая граница соответствует касанию правой ветви:

$$4-\frac{4}{x}=px.$$

Умножим на $$x$$:

$$4x-4=px^2,$$

или

$$px^2-4x+4=0.$$

Чтобы было касание, дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(-4)^2-4\cdot p\cdot 4=16-16p=0,$$

откуда

$$p=1.$$

Следовательно, ровно три различных корня уравнение имеет при

$$\frac{3}{4}<p<1.$$

Ответ

$$\frac{3}{4}<p<1.$$