Упр.3.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (3x — 5)^2 / (x — 2) ? (25 — 30x + 9x^2) / (12 — 8x + x^2);
б) (2x — 7)^2 / (x — 3) ? (49 — 28x + 4x^2) / (15 — 8x + x^2).

а) Преобразуем выражения в дробях:

$$25-30x+9x^2=(3x-5)^2,$$
$$12-8x+x^2=(x-2)(x-6).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{(3x-5)^2}{x-2}\ge \frac{(3x-5)^2}{(x-2)(x-6)}.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\frac{(3x-5)^2}{x-2}-\frac{(3x-5)^2}{(x-2)(x-6)}\ge 0,$$
$$\frac{(3x-5)^2(x-7)}{(x-2)(x-6)}\ge 0.$$

Область допустимых значений: $$x\ne 2,\; x\ne 6.$$

Нули числителя: $$3x-5=0 \Rightarrow x=\frac53,\quad x-7=0 \Rightarrow x=7.$$

Исследуя знак дроби, получаем:

$$x\in\left\{\frac53\right\}\cup(2;6)\cup[7;+\infty).$$

б) Аналогично:

$$49-28x+4x^2=(2x-7)^2,$$
$$15-8x+x^2=(x-3)(x-5).$$

Тогда

$$\frac{(2x-7)^2}{x-3}\le \frac{(2x-7)^2}{(x-3)(x-5)}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{(2x-7)^2}{x-3}-\frac{(2x-7)^2}{(x-3)(x-5)}\le 0,$$
$$\frac{(2x-7)^2(x-6)}{(x-3)(x-5)}\le 0.$$

ОДЗ: $$x\ne 3,\; x\ne 5.$$

Нули числителя: $$2x-7=0 \Rightarrow x=\frac72,\quad x-6=0 \Rightarrow x=6.$$

По знакам получаем:

$$x\in(-\infty;3)\cup\left\{\frac72\right\}\cup(5;6].$$

Ответ

а) $$\left\{\frac53\right\}\cup(2;6)\cup[7;+\infty)$$

б) $$(-\infty;3)\cup\left\{\frac72\right\}\cup(5;6]$$