Упр.3.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (3^0,6 · 5^(2/3))^15 / 15^9; в) (0,2^(v2-1)) / 5^(-v2); д) ((3^(1/3)·3^0,25)/3^(1/12))^4;
б) ((2^(2/3) · 2^(1/2)) / 2^(1/6))^-3; г) (7^1,5 · 5^4/3)^12 / 35^16; е) (2^(v3 — 2)) / 0,5^(-v3). Дана функция y=f(x), где f(x)={x^(1/3), если x?-1; x^2, если -10;
г) найдите, при каких значениях параметра р уравнение f(x)=p имеет более двух корней.

Упростим выражения, используя свойства степеней:

а)
$$ \frac{(3^{0,6}\cdot 5^{\frac23})^{15}}{15^9} = \frac{3^9\cdot 5^{10}}{3^9\cdot 5^9} = 5; $$
б)
$$ \left(\frac{2^{\frac23}\cdot 2^{\frac12}}{2^{\frac16}}\right)^{-3} = \left(2^{\frac23+\frac12-\frac16}\right)^{-3} = \left(2^1\right)^{-3} = \frac18; $$
в)
$$ \frac{0,2^{\sqrt2-1}}{5^{-\sqrt2}} = \frac{1}{5^{\sqrt2-1}}\cdot 5^{\sqrt2} = 5^{\sqrt2-(\sqrt2-1)} = 5; $$
г)
$$ \frac{(7^{1,5}\cdot 5^{\frac43})^{12}}{35^{16}} = \frac{7^{18}\cdot 5^{16}}{7^{16}\cdot 5^{16}} = 7^2 = 49; $$
д)
$$ \left(\frac{3^{\frac13}\cdot 3^{0,25}}{\sqrt[12]{3}}\right)^4 = \left(\frac{3^{\frac13+\frac14}}{3^{\frac1{12}}}\right)^4 = \left(3^{\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{1}{12}}\right)^4 = \left(3^{\frac12}\right)^4 = 9; $$
е)
$$ \frac{2^{\sqrt3-2}}{0,5^{-\sqrt3}} = 2^{\sqrt3-2}\cdot 2^{-\sqrt3} = 2^{-2} = \frac14. $$

Дана функция

$$ f(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & x\le -1,\\ x^2, & -1<x<2,\\ \dfrac{8}{x}, & x\ge 2. \end{cases} $$

а) График состоит из трёх частей: графика $$y=\sqrt[3]{x}$$ при $$x\le -1$$, параболы $$y=x^2$$ при $$-1<x<2$$ и гиперболы $$y=\dfrac{8}{x}$$ при $$x\ge 2$$. Точки $$(-1,-1)$$ и $$\left(2,4\right)$$ входят в график, а точка $$(-1,1)$$ не входит.

б) По графику:

• возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;2]$$;
• убывает на $$(-1;0]\cup[2;+\infty)$$.

в) Функция положительна там, где её значения выше оси $$Ox$$:

$$ f(x)>0 \quad \text{при} \quad x\in(-1;0)\cup(0;+\infty). $$

г) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух корней тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график функции в трёх точках. Это происходит при

$$ 0<p<1. $$

Ответ

а) $$5$$; б) $$\frac18$$; в) $$5$$; г) $$49$$; д) $$9$$; е) $$\frac14$$.
б) Возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;2]$$, убывает на $$(-1;0]\cup[2;+\infty)$$.
в) $$(-1;0)\cup(0;+\infty)$$.
г) $$0<p<1$$.