Упр.3.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения:
а) $$\frac{\left(3^{0,6}\cdot 5^{\frac{2}{3}}\right)^{15}}{15^9}$$;
в) $$\frac{0,2^{\sqrt{2}-1}}{5^{-\sqrt{2}}}$$;
д) $$\left(\frac{3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{0,25}}{3^{\frac{1}{12}}}\right)^4$$;
б) $$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{6}}}\right)^{-3}$$;
г) $$\frac{\left(7^{1,5}\cdot 5^{\frac{4}{3}}\right)^{12}}{35^{16}}$$;
е) $$\frac{2^{\sqrt{3}-2}}{0,5^{-\sqrt{3}}}$$.
Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} x^{\frac{1}{3}}, & \text{если } x\leqslant -1;\\ x^2, & \text{если } -1 а) Постройте график функции $$y=f(x)$$;

б) укажите промежутки возрастания и убывания функции;

в) укажите промежутки, на которых $$f(x)>0$$;

г) найдите, при каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух корней.

Подробный ответ

Упростим выражения, используя свойства степеней:

а)
$$\frac{(3^{0,6}\cdot 5^{\frac23})^{15}}{15^9} = \frac{3^9\cdot 5^{10}}{3^9\cdot 5^9} = 5;$$
б)
$$\left(\frac{2^{\frac23}\cdot 2^{\frac12}}{2^{\frac16}}\right)^{-3} = \left(2^{\frac23+\frac12-\frac16}\right)^{-3} = \left(2^1\right)^{-3} = \frac18;$$
в)
$$\frac{0,2^{\sqrt2-1}}{5^{-\sqrt2}} = \frac{1}{5^{\sqrt2-1}}\cdot 5^{\sqrt2} = 5^{\sqrt2-(\sqrt2-1)} = 5;$$
г)
$$\frac{(7^{1,5}\cdot 5^{\frac43})^{12}}{35^{16}} = \frac{7^{18}\cdot 5^{16}}{7^{16}\cdot 5^{16}} = 7^2 = 49;$$
д)
$$\left(\frac{3^{\frac13}\cdot 3^{0,25}}{\sqrt[12]{3}}\right)^4 = \left(\frac{3^{\frac13+\frac14}}{3^{\frac1{12}}}\right)^4 = \left(3^{\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{1}{12}}\right)^4 = \left(3^{\frac12}\right)^4 = 9;$$
е)
$$\frac{2^{\sqrt3-2}}{0,5^{-\sqrt3}} = 2^{\sqrt3-2}\cdot 2^{-\sqrt3} = 2^{-2} = \frac14.$$

Дана функция

$$f(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & x\le -1,\\ x^2, & -1<x<2,\\ \dfrac{8}{x}, & x\ge 2. \end{cases}$$

а) График состоит из трёх частей: графика $$y=\sqrt[3]{x}$$ при $$x\le -1$$, параболы $$y=x^2$$ при $$-1<x<2$$ и гиперболы $$y=\dfrac{8}{x}$$ при $$x\ge 2$$. Точки $$(-1,-1)$$ и $$\left(2,4\right)$$ входят в график, а точка $$(-1,1)$$ не входит.

б) По графику:

возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;2]$$;
убывает на $$(-1;0]\cup[2;+\infty)$$.

в) Функция положительна там, где её значения выше оси $$Ox$$:

$$f(x)>0 \quad \text{при} \quad x\in(-1;0)\cup(0;+\infty).$$

г) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух корней тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график функции в трёх точках. Это происходит при

$$0<p<1.$$

Ответ

а) $$5$$; б) $$\frac18$$; в) $$5$$; г) $$49$$; д) $$9$$; е) $$\frac14$$.
б) Возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;2]$$, убывает на $$(-1;0]\cup[2;+\infty)$$.
в) $$(-1;0)\cup(0;+\infty)$$.
г) $$0<p<1$$.