Упр.3.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Три числа образуют арифметическую прогрессию, значит их можно записать так: $$a-d,\ a,\ a+d.$$

Тогда

$$(a-d)\cdot a \cdot (a+d)=792.$$

Разложим число 792 на простые множители:

$$792=2^3\cdot 3^2\cdot 11.$$

Проверим возможные значения среднего члена прогрессии. Если $$a$$ нечётное, то из равенства

$$a(a^2-d^2)=792$$

получаем, что $$a$$ должно быть делителем числа 792. Подходящие значения дают:

$$a=11,\quad d=7.$$

Тогда числа:

$$11-7=4,\quad 11,\quad 11+7=18.$$

Проверка:

$$4\cdot 11\cdot 18=792.$$

Найдём значения выражений.

а)

$$\log_5 25\cdot(\log_2 39-\log_2 13-\log_2 24)$$

$$=2\cdot \log_2\frac{39}{13\cdot 24} =2\cdot \log_2\frac18 =2\cdot(-3)=-6.$$

б)

$$\frac37\left(\log_2 16+27^{\log_3 2}\right)^{\log_{12}49}$$

$$=\frac37\left(4+3^{3\log_3 2}\right)^{\log_{12}49} =\frac37\left(4+2^3\right)^{\log_{12}49}$$

$$=\frac37\cdot 12^{\log_{12}49} =\frac37\cdot 49=21.$$

в)

$$\frac{2(\log_2 5)^2-(\log_2 15)^2-\log_2 5\cdot \log_2 15}{2\log_2 5+\log_2 15}$$

Пусть $$x=\log_2 5,\quad y=\log_2 3,$$ тогда $$\log_2 15=x+y.$$

Тогда числитель:

$$2x^2-(x+y)^2-x(x+y) =2x^2-(x^2+2xy+y^2)-x^2-xy =-y^2-3xy =-y(x+3y).$$

Знаменатель:

$$2x+(x+y)=3x+y.$$

Следовательно,

$$\frac{-y(x+3y)}{3x+y}=-y=-\log_2 3.$$

г)

$$\log_4 0{,}0625\cdot(\log_3 21+\log_3 2-\log_3 14)$$

Так как $$0{,}0625=\frac1{16}=4^{-2},$$ то

$$\log_4 0{,}0625=-2.$$

А в скобках:

$$\log_3 21+\log_3 2-\log_3 14 =\log_3\frac{21\cdot 2}{14} =\log_3 3=1.$$

Тогда

$$-2\cdot 1=-2.$$

д)

$$0{,}7\left(2+(\sqrt3)^{\log_3 \frac1{16}}\right)^{\log_{9/4}3}$$

$$(\sqrt3)^{\log_3 \frac1{16}} =\left(3^{1/2}\right)^{\log_3 \frac1{16}} =3^{\frac12\log_3 \frac1{16}} =\left(\frac1{16}\right)^{1/2} =\frac14.$$

Тогда

$$0{,}7\left(2+\frac14\right)^{\log_{9/4}3} =0{,}7\left(\frac94\right)^{\log_{9/4}3}.$$

По свойству логарифма:

$$\left(\frac94\right)^{\log_{9/4}3}=3.$$

Значит,

$$0{,}7\cdot 3=2{,}1.$$

е)

$$\frac{3(\log_3 24)^2-(\log_3 6)^2-2\log_3 24\cdot \log_3 6}{3\log_3 24+\log_3 6}$$

Пусть $$x=\log_3 4,\quad y=\log_3 6,$$ тогда $$\log_3 24=x+y.$$

Числитель:

$$3(x+y)^2-y^2-2(x+y)y =3x^2+6xy+3y^2-y^2-2xy-2y^2 =3x^2+4xy =x(3x+4y).$$

Знаменатель:

$$3(x+y)+y=3x+4y.$$

Следовательно,

$$\frac{x(3x+4y)}{3x+4y}=x=\log_3 4.$$

Ответ

Три числа: $$4,\ 11,\ 18.$$

а) $$-6$$; б) $$21$$; в) $$-\log_2 3$$; г) $$-2$$; д) $$2{,}1$$; е) $$\log_3 4$$.