Упр.3.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) log_5(25)·(log_2(39)-log_2(13)-log_2(24));
б) (3/7)(log_2(16)+27^log_3(2))^log_12(49));
в) (2(log_2(5))^2-(log_2(15))^2-log_2(5)·log_2(15))/(2log_2(5)+log_2(15));
г) log_4(0,0625)·(log_3(21)+log_3(2)-log_3(14));
д) 0,7(2+(v3)^log_3(1/16))^log_(9/4)(3);
е) (3(log_3(24))^2-(log_3(6))^2-2log_3(24)·log_3(6))/(3log_3(24)+log_3(6)).

Три числа образуют арифметическую прогрессию, значит их можно записать так: $$a-d,\ a,\ a+d.$$

Тогда

$$ (a-d)\cdot a \cdot (a+d)=792. $$

Разложим число 792 на простые множители:

$$ 792=2^3\cdot 3^2\cdot 11. $$

Проверим возможные значения среднего члена прогрессии. Если $a$ нечётное, то из равенства

$$ a(a^2-d^2)=792 $$

получаем, что $a$ должно быть делителем числа 792. Подходящие значения дают:

$$ a=11,\quad d=7. $$

Тогда числа:

$$ 11-7=4,\quad 11,\quad 11+7=18. $$

Проверка:

$$ 4\cdot 11\cdot 18=792. $$

Найдём значения выражений.

а)

$$ \log_5 25\cdot(\log_2 39-\log_2 13-\log_2 24) $$

$$ =2\cdot \log_2\frac{39}{13\cdot 24} =2\cdot \log_2\frac18 =2\cdot(-3)=-6. $$

б)

$$ \frac37\left(\log_2 16+27^{\log_3 2}\right)^{\log_{12}49} $$

$$ =\frac37\left(4+3^{3\log_3 2}\right)^{\log_{12}49} =\frac37\left(4+2^3\right)^{\log_{12}49} $$

$$ =\frac37\cdot 12^{\log_{12}49} =\frac37\cdot 49=21. $$

в)

$$ \frac{2(\log_2 5)^2-(\log_2 15)^2-\log_2 5\cdot \log_2 15}{2\log_2 5+\log_2 15} $$

Пусть $$x=\log_2 5,\quad y=\log_2 3,$$ тогда $$\log_2 15=x+y.$$

Тогда числитель:

$$ 2x^2-(x+y)^2-x(x+y) =2x^2-(x^2+2xy+y^2)-x^2-xy =-y^2-3xy =-y(x+3y). $$

Знаменатель:

$$ 2x+(x+y)=3x+y. $$

Следовательно,

$$ \frac{-y(x+3y)}{3x+y}=-y=-\log_2 3. $$

г)

$$ \log_4 0{,}0625\cdot(\log_3 21+\log_3 2-\log_3 14) $$

Так как $$0{,}0625=\frac1{16}=4^{-2},$$ то

$$ \log_4 0{,}0625=-2. $$

А в скобках:

$$ \log_3 21+\log_3 2-\log_3 14 =\log_3\frac{21\cdot 2}{14} =\log_3 3=1. $$

Тогда

$$ -2\cdot 1=-2. $$

д)

$$ 0{,}7\left(2+(\sqrt3)^{\log_3 \frac1{16}}\right)^{\log_{9/4}3} $$

$$ (\sqrt3)^{\log_3 \frac1{16}} =\left(3^{1/2}\right)^{\log_3 \frac1{16}} =3^{\frac12\log_3 \frac1{16}} =\left(\frac1{16}\right)^{1/2} =\frac14. $$

Тогда

$$ 0{,}7\left(2+\frac14\right)^{\log_{9/4}3} =0{,}7\left(\frac94\right)^{\log_{9/4}3}. $$

По свойству логарифма:

$$ \left(\frac94\right)^{\log_{9/4}3}=3. $$

Значит,

$$ 0{,}7\cdot 3=2{,}1. $$

е)

$$ \frac{3(\log_3 24)^2-(\log_3 6)^2-2\log_3 24\cdot \log_3 6}{3\log_3 24+\log_3 6} $$

Пусть $$x=\log_3 4,\quad y=\log_3 6,$$ тогда $$\log_3 24=x+y.$$

Числитель:

$$ 3(x+y)^2-y^2-2(x+y)y =3x^2+6xy+3y^2-y^2-2xy-2y^2 =3x^2+4xy =x(3x+4y). $$

Знаменатель:

$$ 3(x+y)+y=3x+4y. $$

Следовательно,

$$ \frac{x(3x+4y)}{3x+4y}=x=\log_3 4. $$

Ответ

Три числа: $$4,\ 11,\ 18.$$

а) $$-6$$; б) $$21$$; в) $$-\log_2 3$$; г) $$-2$$; д) $$2{,}1$$; е) $$\log_3 4$$.