Упр.3.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- На своём дачном участке хозяин решил выкопать колодец и заключил договор с бригадой рабочих по следующему прейскуранту цен: установка первого железобетонного кольца стоит $$1500\ \text{р.}$$, каждого следующего — на $$500\ \text{р.}$$ дороже предыдущего. В результате вся работа обошлась хозяину в $$21000\ \text{р.}$$ Какой глубины был вырыт колодец, если высота каждого кольца $$1\ \text{м}$$?
- Вычислите:
а) $$\cos\left(\frac{21\pi}{4}\right)-\sin\left(\frac{15\pi}{4}\right)-\operatorname{ctg}\left(\frac{33\pi}{4}\right);$$
б) $$\cos\left(\frac{31\pi}{3}\right)-2\operatorname{tg}\left(\frac{13\pi}{3}\right)+\sin\left(-\frac{26\pi}{3}\right);$$
в) $$\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)+\operatorname{ctg}\left(-\frac{31\pi}{6}\right)-2\sin\left(-\frac{29\pi}{6}\right);$$
г) $$\sin\left(\frac{31\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{25\pi}{4}\right)+\operatorname{tg}\left(\frac{17\pi}{4}\right);$$
д) $$\sin\left(\frac{37\pi}{3}\right)-2\operatorname{ctg}\left(-\frac{29\pi}{3}\right)+\cos\left(-\frac{19\pi}{3}\right);$$
е) $$\cos\left(\frac{23\pi}{6}\right)-3\operatorname{tg}\left(-\frac{17\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{35\pi}{6}\right).$$
Пусть в колодце было установлено $$n$$ колец. Тогда стоимость работ образует арифметическую прогрессию:
$$a_1=1500,\quad d=500,\quad S_n=21000.$$
Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$$
где
$$a_n=a_1+d(n-1)=1500+500(n-1).$$
Тогда
$$21000=\frac{1500+1500+500(n-1)}{2}\cdot n,$$
$$21000=\frac{2500+500n}{2}\cdot n,$$
$$42000=(2500+500n)n,$$
$$84=5n+n^2,$$
$$n^2+5n-84=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=5^2+4\cdot 84=25+336=361,$$
$$n=\frac{-5\pm 19}{2}.$$
Получаем:
$$n_1=-12,\quad n_2=7.$$
Так как число колец не может быть отрицательным, то $$n=7$$.
Высота каждого кольца равна $$1$$ м, значит глубина колодца:
$$7\cdot 1=7\text{ м}.$$
Вычислим значения выражений.
а)
$$\cos\frac{21\pi}{4}-\sin\frac{15\pi}{4}-\ctg\frac{33\pi}{4}$$
$$=\cos\left(5\pi+\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(4\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\ctg\left(8\pi+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=-\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}-\ctg\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}-1=-1.$$
б)
$$\cos\frac{31\pi}{3}-2\tg\frac{13\pi}{3}+\sin\left(-\frac{26\pi}{3}\right)$$
$$=\cos\left(10\pi+\frac{\pi}{3}\right)-2\tg\left(4\pi+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(9\pi-\frac{\pi}{3}\right)$$
$$=\cos\frac{\pi}{3}-2\tg\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}=\frac12-2\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1-5\sqrt3}{2}.$$
в)
$$\cos\frac{11\pi}{6}+\ctg\left(-\frac{31\pi}{6}\right)-2\sin\left(-\frac{29\pi}{6}\right)$$
$$=\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)-\ctg\left(5\pi+\frac{\pi}{6}\right)+2\sin\left(5\pi-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$=\cos\frac{\pi}{6}-\ctg\frac{\pi}{6}+2\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3+1=\frac{2-\sqrt3}{2}.$$
г)
$$\sin\frac{31\pi}{4}-\cos\frac{25\pi}{4}+\tg\frac{17\pi}{4}$$
$$=\sin\left(8\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right)+\tg\left(4\pi+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=-\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}+\tg\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+1=1-\sqrt2.$$
д)
$$\sin\frac{37\pi}{3}-2\ctg\left(-\frac{29\pi}{3}\right)+\cos\left(-\frac{19\pi}{3}\right)$$
$$=\sin\left(12\pi+\frac{\pi}{3}\right)+2\ctg\left(10\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(6\pi+\frac{\pi}{3}\right)$$
$$=\sin\frac{\pi}{3}-2\ctg\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{2\sqrt3}{3}+\frac12=\frac{3-\sqrt3}{6}.$$
е)
$$\cos\frac{23\pi}{6}-3\tg\left(-\frac{17\pi}{6}\right)+\sin\frac{35\pi}{6}$$
$$=\cos\left(4\pi-\frac{\pi}{6}\right)+3\tg\left(3\pi-\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(6\pi-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$=\cos\frac{\pi}{6}+3\tg\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}+3\cdot\frac{\sqrt3}{3}-\frac12=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$
Ответ
Глубина колодца: $$7\text{ м}$$.
а) $$-1$$; б) $$\frac{1-5\sqrt3}{2}$$; в) $$\frac{2-\sqrt3}{2}$$; г) $$1-\sqrt2$$; д) $$\frac{3-\sqrt3}{6}$$; е) $$\frac{1+\sqrt3}{2}$$.
