Упр.3.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) cos(21?/4)-sin(15?/4)-ctg(33?/4);
б) cos(31?/3)-2tg(13?/3)+sin(-26?/3);
в) cos(11?/6)+ctg(-31?/6)-2sin(-29?/6);
г) sin(31?/4)-cos(25?/4)+tg(17?/4);
д) sin(37?/3)-2ctg(-29?/3)+cos(-19?/3);
е) cos(23?/6)-3tg(-17?/6)+sin(35?/6).

Пусть в колодце было установлено $$n$$ колец. Тогда стоимость работ образует арифметическую прогрессию:

$$a_1=1500,\quad d=500,\quad S_n=21000.$$

Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$$

где

$$a_n=a_1+d(n-1)=1500+500(n-1).$$

Тогда

$$21000=\frac{1500+1500+500(n-1)}{2}\cdot n,$$

$$21000=\frac{2500+500n}{2}\cdot n,$$

$$42000=(2500+500n)n,$$

$$84=5n+n^2,$$

$$n^2+5n-84=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2+4\cdot 84=25+336=361,$$

$$n=\frac{-5\pm 19}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=-12,\quad n_2=7.$$

Так как число колец не может быть отрицательным, то $$n=7$$.

Высота каждого кольца равна $$1$$ м, значит глубина колодца:

$$7\cdot 1=7\text{ м}.$$

Вычислим значения выражений.

а)

$$\cos\frac{21\pi}{4}-\sin\frac{15\pi}{4}-\ctg\frac{33\pi}{4}$$

$$=\cos\left(5\pi+\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(4\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\ctg\left(8\pi+\frac{\pi}{4}\right)$$

$$=-\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}-\ctg\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}-1=-1.$$

б)

$$\cos\frac{31\pi}{3}-2\tg\frac{13\pi}{3}+\sin\left(-\frac{26\pi}{3}\right)$$

$$=\cos\left(10\pi+\frac{\pi}{3}\right)-2\tg\left(4\pi+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(9\pi-\frac{\pi}{3}\right)$$

$$=\cos\frac{\pi}{3}-2\tg\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}=\frac12-2\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1-5\sqrt3}{2}.$$

в)

$$\cos\frac{11\pi}{6}+\ctg\left(-\frac{31\pi}{6}\right)-2\sin\left(-\frac{29\pi}{6}\right)$$

$$=\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)-\ctg\left(5\pi+\frac{\pi}{6}\right)+2\sin\left(5\pi-\frac{\pi}{6}\right)$$

$$=\cos\frac{\pi}{6}-\ctg\frac{\pi}{6}+2\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3+1=\frac{2-\sqrt3}{2}.$$

г)

$$\sin\frac{31\pi}{4}-\cos\frac{25\pi}{4}+\tg\frac{17\pi}{4}$$

$$=\sin\left(8\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right)+\tg\left(4\pi+\frac{\pi}{4}\right)$$

$$=-\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}+\tg\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}+1=1-\sqrt2.$$

д)

$$\sin\frac{37\pi}{3}-2\ctg\left(-\frac{29\pi}{3}\right)+\cos\left(-\frac{19\pi}{3}\right)$$

$$=\sin\left(12\pi+\frac{\pi}{3}\right)+2\ctg\left(10\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(6\pi+\frac{\pi}{3}\right)$$

$$=\sin\frac{\pi}{3}-2\ctg\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{2\sqrt3}{3}+\frac12=\frac{3-\sqrt3}{6}.$$

е)

$$\cos\frac{23\pi}{6}-3\tg\left(-\frac{17\pi}{6}\right)+\sin\frac{35\pi}{6}$$

$$=\cos\left(4\pi-\frac{\pi}{6}\right)+3\tg\left(3\pi-\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(6\pi-\frac{\pi}{6}\right)$$

$$=\cos\frac{\pi}{6}+3\tg\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}+3\cdot\frac{\sqrt3}{3}-\frac12=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$

Ответ

Глубина колодца: $$7\text{ м}$$.

а) $$-1$$; б) $$\frac{1-5\sqrt3}{2}$$; в) $$\frac{2-\sqrt3}{2}$$; г) $$1-\sqrt2$$; д) $$\frac{3-\sqrt3}{6}$$; е) $$\frac{1+\sqrt3}{2}$$.