Упр.3.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) При $$x \to +\infty$$ вынесем в числителе и знаменателе старшие степени:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{4\sqrt[3]{x}+\sqrt[9]{x}}{\sqrt[3]{8x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{4+\frac{\sqrt[9]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{8}}$$
Так как $$\frac{\sqrt[9]{x}}{\sqrt[3]{x}}=x^{\frac19-\frac13}=x^{-\frac29}\to 0,$$ получаем
$$\frac{4+0}{\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{2}=2.$$

б)

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2^x+5^x+10^{x+1}}{10^x} = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2^x}{10^x}+\frac{5^x}{10^x}+\frac{10^{x+1}}{10^x}\right)$$
$$= \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{5^x}+\frac{1}{2^x}+10\right)=10.$$

в)

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-3\sqrt[5]{x}+4x^3}{6x^3+x^2-2x-1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x}-\frac{3\sqrt[5]{x}}{x^3}+4}{6+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}$$
При $$x\to+\infty$$ все дробные слагаемые стремятся к нулю, поэтому
$$\frac{0+4}{6+0}=\frac{2}{3}.$$

г)

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{2^{x+3}+3^{x+1}-4^{x-2}}{2^x} = \lim_{x\to-\infty}\left(8+3\left(\frac{3}{2}\right)^x-\frac{2^x}{16}\right)$$
Так как при $$x\to-\infty$$ имеем $$\left(\frac{3}{2}\right)^x\to 0$$ и $$2^x\to 0,$$ то
$$8+0-0=8.$$

а) Упростим, складывая показатели степеней:

$$a^{-2,4}\cdot a^{3,7}\cdot (a^{0,6})^5 = a^{-2,4+3,7+0,6\cdot 5} = a^{1,3+3} = a^{4,3}.$$

б)

$$b^{-1,9}\cdot b^{-3,2}\cdot (b^{4,2})^3 = b^{-1,9-3,2+4,2\cdot 3} = b^{-5,1+12,6} = b^{7,5}.$$

в)

$$c^{7,3}\cdot (c^{1,2})^{-5}\cdot (c^{-2,6})^2 = c^{7,3-1,2\cdot 5+(-2,6)\cdot 2} = c^{7,3-6-5,2} = c^{-3,9}.$$

г)

$$a^{4,1}\cdot a^{-2,6}\cdot (a^{1,5})^4 = a^{4,1-2,6+1,5\cdot 4} = a^{1,5+6} = a^{7,5}.$$

д)

$$b^{3,1}\cdot b^{-1,3}\cdot (b^{-2,4})^3 = b^{3,1-1,3+(-2,4)\cdot 3} = b^{1,8-7,2} = b^{-5,4}.$$

е)

$$c^{9,3}\cdot (c^{-1,4})^3\cdot (c^{1,6})^{-5} = c^{9,3+(-1,4)\cdot 3+1,6\cdot(-5)} = c^{9,3-4,2-8} = c^{-2,9}.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$10$$; в) $$\frac{2}{3}$$; г) $$8$$; а) $$a^{4,3}$$; б) $$b^{7,5}$$; в) $$c^{-3,9}$$; г) $$a^{7,5}$$; д) $$b^{-5,4}$$; е) $$c^{-2,9}$$.