Упр.3.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) lim (x>?) (4·x^(1/3) + x^(1/9)) / (8x)^(1/3);
б) lim (x>?) (2^x + 5^x + 10^(x + 1)) / 10^x;
в) lim (x>?) (2x^2 — 3·x^(1/5) + 4x^3) / (6x^3 + x^2 — 2x — 1);
г) lim (x>?) (2^(x+3) + 3^(x+1) — 4^(x-2)) / 2^x. Упростите выражение:
а) a^(-2,4)·a^3,7·(a^0,6)^5;
б) b^(-1,9)·b^(-3,2)·(b^4,2)^3;
в) c^7,3·(c^1,2)^(-5)·(c^(-2,6))^2;
г) a^4,1·a^(-2,6)·(a^1,5)^4;
д) b^3,1·b^(-1,3)·(b^(-2,4))^3;
е) c^9,3·(c^(-1,4))^3·(c^1,6)^(-5).

Подробный ответ

а) При $$x \to +\infty$$ вынесем в числителе и знаменателе старшие степени:

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{4\sqrt[3]{x}+\sqrt[9]{x}}{\sqrt[3]{8x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{4+\frac{\sqrt[9]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{8}} $$
Так как $$\frac{\sqrt[9]{x}}{\sqrt[3]{x}}=x^{\frac19-\frac13}=x^{-\frac29}\to 0,$$ получаем
$$ \frac{4+0}{\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{2}=2. $$

б)

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{2^x+5^x+10^{x+1}}{10^x} = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2^x}{10^x}+\frac{5^x}{10^x}+\frac{10^{x+1}}{10^x}\right) $$
$$ = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{5^x}+\frac{1}{2^x}+10\right)=10. $$

в)

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-3\sqrt[5]{x}+4x^3}{6x^3+x^2-2x-1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x}-\frac{3\sqrt[5]{x}}{x^3}+4}{6+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}} $$
При $$x\to+\infty$$ все дробные слагаемые стремятся к нулю, поэтому
$$ \frac{0+4}{6+0}=\frac{2}{3}. $$

г)

$$ \lim_{x\to-\infty}\frac{2^{x+3}+3^{x+1}-4^{x-2}}{2^x} = \lim_{x\to-\infty}\left(8+3\left(\frac{3}{2}\right)^x-\frac{2^x}{16}\right) $$
Так как при $$x\to-\infty$$ имеем $$\left(\frac{3}{2}\right)^x\to 0$$ и $$2^x\to 0,$$ то
$$ 8+0-0=8. $$

а) Упростим, складывая показатели степеней:

$$ a^{-2,4}\cdot a^{3,7}\cdot (a^{0,6})^5 = a^{-2,4+3,7+0,6\cdot 5} = a^{1,3+3} = a^{4,3}. $$

б)

$$ b^{-1,9}\cdot b^{-3,2}\cdot (b^{4,2})^3 = b^{-1,9-3,2+4,2\cdot 3} = b^{-5,1+12,6} = b^{7,5}. $$

в)

$$ c^{7,3}\cdot (c^{1,2})^{-5}\cdot (c^{-2,6})^2 = c^{7,3-1,2\cdot 5+(-2,6)\cdot 2} = c^{7,3-6-5,2} = c^{-3,9}. $$

г)

$$ a^{4,1}\cdot a^{-2,6}\cdot (a^{1,5})^4 = a^{4,1-2,6+1,5\cdot 4} = a^{1,5+6} = a^{7,5}. $$

д)

$$ b^{3,1}\cdot b^{-1,3}\cdot (b^{-2,4})^3 = b^{3,1-1,3+(-2,4)\cdot 3} = b^{1,8-7,2} = b^{-5,4}. $$

е)

$$ c^{9,3}\cdot (c^{-1,4})^3\cdot (c^{1,6})^{-5} = c^{9,3+(-1,4)\cdot 3+1,6\cdot(-5)} = c^{9,3-4,2-8} = c^{-2,9}. $$