Упр.3.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Вычислите:

1. а) $$\lim_{x > ?}\frac{\sin(x)}{x^2}$$;
2. б) $$\lim_{x > ?}\frac{\sin(x)+\cos(x)}{x^2+2x}$$;
3. в) $$\lim_{x > ?}\frac{\cos^3(x)}{4^x+3x}$$;
4. г) $$\lim_{x > ?}\frac{\cos(x)}{x^4}$$;
5. д) $$\lim_{x > ?}\frac{2-3\sin(2x)}{4x-3}$$;
6. е) $$\lim_{x > ?}\frac{\sin^2(x)}{2^x+x}$$.

1. $$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0,$$ так как $$|\sin x|\le 1,$$ а $$x^2\to\infty.$$

2. $$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x+\cos x}{x^2+2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\sin x}{x^2}+\frac{\cos x}{x^2}}{1+\frac{2}{x}}= \frac{0+0}{1+0}=0.$$

3. $$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\cos^3 x}{4x+3x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\cos^3 x}{7x}=0,$$ так как $$|\cos^3 x|\le 1,$$ а $$7x\to\pm\infty.$$

4. $$\lim_{x\to\infty}\frac{\cos x}{x^4}=0,$$ поскольку $$|\cos x|\le 1,$$ а $$x^4\to\infty.$$

5. $$\lim_{x\to\infty}\frac{2-3\sin 2x}{4x-3}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{x}-\frac{3\sin 2x}{x}}{4-\frac{3}{x}}=\frac{0-0}{4-0}=0.$$

6. $$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin^2 x}{2x+x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin^2 x}{3x}=0,$$ так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ а $$3x\to\pm\infty.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0$$; д) $$0$$; е) $$0$$.