Упр.3.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (x>?)lim(sin(x)/x^2); г) (x>?)lim(cos(x)/x^4);
б) (x>?)lim((sin(x)+cos(x))/(x^2+2x)); д) (x>?)lim((2-3sin(2x))/(4x-3));
в) (x>?)lim(cos^3(x)/(4^x+3x)); е) (x>?)lim(sin^2(x)/(2^x+x)).
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0,$$ так как $$|\sin x|\le 1,$$ а $$x^2\to\infty.$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x+\cos x}{x^2+2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\sin x}{x^2}+\frac{\cos x}{x^2}}{1+\frac{2}{x}}= \frac{0+0}{1+0}=0.$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\cos^3 x}{4x+3x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\cos^3 x}{7x}=0,$$ так как $$|\cos^3 x|\le 1,$$ а $$7x\to\pm\infty.$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\cos x}{x^4}=0,$$ поскольку $$|\cos x|\le 1,$$ а $$x^4\to\infty.$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2-3\sin 2x}{4x-3}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{x}-\frac{3\sin 2x}{x}}{4-\frac{3}{x}}=\frac{0-0}{4-0}=0.$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin^2 x}{2x+x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin^2 x}{3x}=0,$$ так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ а $$3x\to\pm\infty.$$
Ответ
а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0$$; д) $$0$$; е) $$0$$.
