Упр.3.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Вычислите:

1. а) $$\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x+2}{3^x}$$;
2. б) $$\lim_{x\to+\infty}\frac{5\cdot3^x+2}{3^{x+1}+1}$$;
3. в) $$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{6\cdot3^x-1}{3^{x+2}}+\frac{x+4}{x-1}\right)$$;
4. г) $$\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{3^x+5}$$;
5. д) $$\lim_{x\to+\infty}\frac{4\cdot3^x+3}{3^{x+1}}$$;
6. е) $$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3^{x+2}+2}{3^{x-1}}+\frac{x-2}{x+1}\right)$$.

1. $$\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x+2}{3^x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{3^x}\right)=1+0=1.$$

2. $$\lim_{x\to+\infty}\frac{5\cdot 3^x+2}{3^{x+1}+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{5+\frac{2}{3^x}}{3+\frac{1}{3^x}}=\frac{5+0}{3+0}=\frac{5}{3}.$$

3. $$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{6\cdot 3^x-1}{3^{x+2}}-\frac{x+4}{x-1}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{6}{9}-\frac{1}{3^{x+2}}-\frac{1+\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x}}\right).$$

   Тогда

   $$\frac{6}{9}-0-\frac{1+0}{1-0}=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}.$$

4. $$\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{3^x+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{5}{3^x}}=\frac{1}{1+0}=1.$$

5. $$\lim_{x\to+\infty}\frac{4\cdot 3^x+3}{3^{x+1}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4+\frac{3}{3^x}}{3}=\frac{4+0}{3}=\frac{4}{3}.$$

6. $$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3^{x+2}+2}{3^{x-1}}+\frac{x-2}{x+1}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(9\cdot 3+\frac{2}{3^{x-1}}+\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right).$$

   Следовательно,

   $$27+0+\frac{1-0}{1+0}=28.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{5}{3}$$; в) $$-\frac{1}{3}$$; г) $$1$$; д) $$\frac{4}{3}$$; е) $$28$$.