Упр.3.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Постройте график данной функции и установите, имеет ли она предел при $$x \to +\infty$$ или при $$x \to -\infty$$:

а) $$y=2^x$$; г) $$y=2^{-x}$$; б) $$y=2^{1-2x}$$; д) $$y=2^{2x-1}$$; в) $$y=2^{2-\frac{1}{2}x}$$; е) $$y=2^{\frac{1}{2}x-2}$$.

1. а) $$y=2^x$$

   Это возрастающая показательная функция. Для построения удобно отметить точки:

   $$x=0 \Rightarrow y=1,\quad x=1 \Rightarrow y=2,\quad x=2 \Rightarrow y=4,\quad x=-1 \Rightarrow y=\frac12.$$

   При $$x\to -\infty$$ имеем $$2^x\to 0$$, значит

   $$\lim_{x\to -\infty}2^x=0.$$

2. б) $$y=2^{1-2x}$$

   Преобразуем:

   $$2^{1-2x}=2\cdot 2^{-2x}.$$

   Это убывающая показательная функция. При $$x\to +\infty$$ показатель $$1-2x\to -\infty$$, поэтому

   $$\lim_{x\to +\infty}2^{1-2x}=0.$$

3. в) $$y=2^{2-\frac12 x}$$

   Показатель можно записать как $$2-\frac{x}{2}$$. Функция убывает. При $$x\to +\infty$$ показатель стремится к $$-\infty$$, значит

   $$\lim_{x\to +\infty}2^{2-\frac12 x}=0.$$

4. г) $$y=2^{-x}$$

   Это убывающая показательная функция. При $$x\to +\infty$$ имеем $$-x\to -\infty$$, поэтому

   $$\lim_{x\to +\infty}2^{-x}=0.$$

5. д) $$y=2^{2x-1}$$

   Это возрастающая показательная функция. При $$x\to -\infty$$ показатель $$2x-1\to -\infty$$, следовательно

   $$\lim_{x\to -\infty}2^{2x-1}=0.$$

6. е) $$y=2^{\frac12 x-2}$$

   Это также возрастающая показательная функция. При $$x\to -\infty$$ показатель $$\frac12 x-2\to -\infty$$, значит

   $$\lim_{x\to -\infty}2^{\frac12 x-2}=0.$$

Ответ

а) $$\lim_{x\to -\infty}2^x=0$$;
б) $$\lim_{x\to +\infty}2^{1-2x}=0$$;
в) $$\lim_{x\to +\infty}2^{2-\frac12 x}=0$$;
г) $$\lim_{x\to +\infty}2^{-x}=0$$;
д) $$\lim_{x\to -\infty}2^{2x-1}=0$$;
е) $$\lim_{x\to -\infty}2^{\frac12 x-2}=0$$.