Упр.29.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Дробно-линейную функцию $$w=\frac{az+b}{cz+d}$$ преобразуйте к виду $$w=A+\frac{B}{z+C}$$; в ответе укажите значения $$A$$, $$B$$, $$C$$, если:
а) $$w=\frac{2z+1}{z-1}$$;
б) $$w=\frac{2iz-3}{1-iz}$$;
в) $$w=\frac{2z+i}{z+i}$$;
г) $$w=\frac{(2i+1)z-i-1}{iz+1}$$.
Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases} v\left(\frac{x-y}{3y}\right)+v\left(\frac{5x}{x+y}\right)=3,\\ 17v\left(\frac{x-y}{3y}\right)-8v\left(\frac{5x}{x+y}\right)=1; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} v\left(\frac{y-x}{2x}\right)-v\left(\frac{x}{x+y}\right)=\frac{1}{2},\\ 16v\left(\frac{x}{x+y}\right)-7v\left(\frac{y-x}{2x}\right)=1. \end{cases}$$

Подробный ответ

Преобразуем дробно-линейные функции к виду $$w=A+\frac{B}{z+C}$$.
а) $$w=\frac{2z+1}{z-1}=\frac{2(z-1)+3}{z-1}=2+\frac{3}{z-1}.$$
Значит, $$A=2,\; B=3,\; C=-1.$$
б) $$w=\frac{2iz-3}{1-iz}=\frac{-2z-3i}{z+i}=\frac{-2(z+i)-i}{z+i}=-2-\frac{i}{z+i}.$$
Значит, $$A=-2,\; B=-i,\; C=i.$$
в) $$w=\frac{2z+i}{z+i}=\frac{2(z+i)-i}{z+i}=2-\frac{i}{z+i}.$$
Значит, $$A=2,\; B=-i,\; C=i.$$
г) $$w=\frac{(2i+1)z-i-1}{iz+1}=\frac{(i-2)z+1-i}{i-z}=\frac{(2-i)z+i-1}{z-i}.$$
Тогда
$$w=\frac{2(z-i)-i(z-i)+3i}{z-i}=2-i+\frac{3i}{z-i}.$$
Значит, $$A=2-i,\; B=3i,\; C=-i.$$
Решим систему.
а)
$$\begin{cases} \sqrt{\frac{x-y}{3y}}+\sqrt{\frac{5x}{x+y}}=3,\\ 17\sqrt{\frac{x-y}{3y}}-8\sqrt{\frac{5x}{x+y}}=1. \end{cases}$$
Обозначим
$$u=\sqrt{\frac{x-y}{3y}},\qquad v=\sqrt{\frac{5x}{x+y}}.$$
Тогда
$$\begin{cases} u+v=3,\\ 17u-8v=1. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$8$$:
$$8u+8v=24.$$
Сложим с вторым уравнением:
$$25u=25,\qquad u=1.$$
Тогда $$v=2.$$ Следовательно,
$$\frac{x-y}{3y}=1,\qquad \frac{5x}{x+y}=4.$$
Из первого равенства получаем $$x=4y.$$
Пусть $$y=t$$, тогда $$x=4t.$$
Ответ: $$(4t;\,t).$$
б)
$$\begin{cases} \sqrt{\frac{y-x}{2x}}-\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac12,\\ 16\sqrt{\frac{x}{x+y}}-7\sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1. \end{cases}$$
Обозначим
$$u=\sqrt{\frac{y-x}{2x}},\qquad v=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.$$
Тогда
$$\begin{cases} u-v=\frac12,\\ 16v-7u=1. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$16$$:
$$16u-16v=8.$$
Сложим с вторым уравнением:
$$9u=9,\qquad u=1.$$
Тогда $$v=\frac12.$$ Следовательно,
$$\frac{y-x}{2x}=1,\qquad \frac{x}{x+y}=\frac14.$$
Из первого равенства получаем $$y=3x.$$
Пусть $$x=t$$, тогда $$y=3t.$$
Ответ: $$(t;\,3t).$$