Упр.29.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) |z| = 2, arg z = ?/6; в) |z| = 0,25, arg z = -?/3;
б) |!z| = 3, arg z = 2?/5; г) |z| = 1, arg !z = 4?/5. Решите систему уравнений:
а) {log_16(x-y)=1/2, log_125(x)-log_125(y)=1/3};
б) {log_27(3x-y)=1/3, log_4(y)-log_4(y)=0,5};
в) {log_(1/64)(x-y)=-1/3, log_9(x)-log_9(y)=1/2};
г) {log_625(x+y)=0,25, log_8(y)-log_8(x)=2/3}.

Пусть $$z=re^{i\varphi}$$, где $$r=|z|$$, $$\varphi=\arg z$$. Тогда

$$\overline z=re^{-i\varphi}, \qquad \frac1z=\frac1r e^{-i\varphi}, \qquad \frac1{\overline z}=\frac1r e^{i\varphi}.$$

1. а) $$|z|=2,\ \arg z=\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),$$

   $$\overline z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right),$$

   $$\frac1z=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right),$$

   $$\frac1{\overline z}=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).$$

2. б) $$|\overline z|=3,\ \arg z=\frac{2\pi}{5}.$$

   Так как $$|\overline z|=|z|,$$ то $$|z|=3.$$ Следовательно,

   $$z=3\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right),$$

   $$\overline z=3\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}\right),$$

   $$\frac1z=\frac13\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}\right),$$

   $$\frac1{\overline z}=\frac13\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right).$$

3. в) $$|z|=\frac14,\ \arg z=-\frac{\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right),$$

   $$\overline z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)-i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right),$$

   $$\frac1z=4\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right),$$

   $$\frac1{\overline z}=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$

4. г) $$|z|=1,\ \arg \overline z=\frac{4\pi}{5}.$$

   Так как $$\arg \overline z=-\arg z,$$ то

   $$\arg z=-\frac{4\pi}{5}.$$

   Следовательно,

   $$z=\cos\left(-\frac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(-\frac{4\pi}{5}\right),$$

   $$\overline z=\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right),$$

   $$\frac1z=\overline z,\qquad \frac1{\overline z}=z,$$

   так как $$|z|=1.$$

Решим системы.

1. а)

   $$ \begin{cases} \log_{16}(x-y)=\frac12,\\ \log_{125}x-\log_{125}y=\frac13. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$x-y=16^{1/2}=4.$$

   Из второго:

   $$\log_{125}\frac{x}{y}=\frac13 \Rightarrow \frac{x}{y}=125^{1/3}=5.$$

   Тогда $$x=5y,$$ и

   $$5y-y=4 \Rightarrow 4y=4 \Rightarrow y=1,\quad x=5.$$

2. б)

   $$ \begin{cases} \log_{27}(3x-y)=\frac13,\\ \log_4 y-\log_4 x=0{,}5. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$3x-y=27^{1/3}=3.$$

   Из второго:

   $$\log_4\frac{y}{x}=\frac12 \Rightarrow \frac{y}{x}=4^{1/2}=2,$$

   то есть $$y=2x.$$

   Подставим:

   $$3x-2x=3 \Rightarrow x=3,\quad y=6.$$

3. в)

   $$ \begin{cases} \log_{1/64}(x-y)=-\frac13,\\ \log_9 x-\log_9 y=\frac12. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$x-y=\left(\frac1{64}\right)^{-1/3}=4.$$

   Из второго:

   $$\log_9\frac{x}{y}=\frac12 \Rightarrow \frac{x}{y}=9^{1/2}=3,$$

   то есть $$x=3y.$$

   Тогда

   $$3y-y=4 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2,\quad x=6.$$

4. г)

   $$ \begin{cases} \log_{625}(x+y)=0{,}25,\\ \log_8 y-\log_8 x=\frac23. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$x+y=625^{1/4}=5.$$

   Из второго:

   $$\log_8\frac{y}{x}=\frac23 \Rightarrow \frac{y}{x}=8^{2/3}=4,$$

   то есть $$y=4x.$$

   Тогда

   $$x+4x=5 \Rightarrow 5x=5 \Rightarrow x=1,\quad y=4.$$

Ответ

а) $$z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),\ \overline z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right),\ \frac1z=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right),\ \frac1{\overline z}=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right);$$

б) $$z=3\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right),\ \overline z=3\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}\right),\ \frac1z=\frac13\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}\right),\ \frac1{\overline z}=\frac13\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right);$$

в) $$z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right),\ \overline z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)-i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right),\ \frac1z=4\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right),\ \frac1{\overline z}=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right);$$

г) $$z=\cos\left(-\frac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(-\frac{4\pi}{5}\right),\ \overline z=\cos\frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5},\ \frac1z=\overline z,\ \frac1{\overline z}=z;$$

а) $$(5;1);$$ б) $$(3;6);$$ в) $$(6;2);$$ г) $$(1;4).$$