Упр.29.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) w_1 = 0, w_2 = 0, w_3 = i;
б) w_1 = -2, w_2 = 2, w_3 = 2 — 3i;
в) w_1 = 0, w_2 = 1 + i, w_3 = 2 + 2i;
г) w_1 = -3, w_2 = 3, w_3 = 5 — 5i. Решите систему уравнений:
а) {2^(2x-3y)·2^(4y-x)=16, log_3(x)+log_3(y)=1};
б) {(1/3)^(2x)·3^(y-1)=1/81, log_2(2x)-log_2(y)=2};
в) {3^(3x-1)·3^(y-2x)=27, log_3(x)+log_3(y)=1};
г) {4^x·(1/v2)^(2-2y)=log_(5^(1/4))(5), log_4(y)-log_4(x)=1}.

Подробный ответ

Пусть линейная функция имеет вид $$w=kz+m.$$ Тогда для трёх заданных точек должны выполняться равенства $$w_1=kw(z_1)+m,\quad w_2=kz_2+m,\quad w_3=kz_3+m.$$
Для любых двух точек из этого следует, что отношение разностей должно сохраняться:
$$\frac{w_2-w_1}{z_2-z_1}=\frac{w_3-w_1}{z_3-z_1}.$$
Проверим каждый случай.
а) $$z_1=-1,\ z_2=1,\ z_3=3+2i;\quad w_1=0,\ w_2=0,\ w_3=i.$$
$$\frac{w_2-w_1}{z_2-z_1}=\frac{0-0}{1-(-1)}=0,$$
$$\frac{w_3-w_1}{z_3-z_1}=\frac{i-0}{(3+2i)-(-1)}=\frac{i}{4+2i}\ne 0.$$
Равенство невозможно, значит такой функции не существует.
б) $$z_1=-1,\ z_2=1,\ z_3=3+2i;\quad w_1=-2,\ w_2=2,\ w_3=2-3i.$$
$$\frac{w_2-w_1}{z_2-z_1}=\frac{2-(-2)}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2,$$
$$\frac{w_3-w_1}{z_3-z_1}=\frac{(2-3i)-(-2)}{(3+2i)-(-1)}=\frac{4-3i}{4+2i}\ne 2.$$
Следовательно, такой функции не существует.
в) $$z_1=-1,\ z_2=1,\ z_3=3+2i;\quad w_1=0,\ w_2=1+i,\ w_3=2+2i.$$
$$\frac{w_2-w_1}{z_2-z_1}=\frac{1+i}{2},$$
$$\frac{w_3-w_1}{z_3-z_1}=\frac{2+2i}{4+2i}=\frac{(2+2i)(4-2i)}{(4+2i)(4-2i)}=\frac{12+4i}{20}=\frac{3+i}{5}.$$
Так как $$\frac{1+i}{2}\ne \frac{3+i}{5},$$ то такой функции не существует.
г) $$z_1=-1,\ z_2=1,\ z_3=3+2i;\quad w_1=-3,\ w_2=3,\ w_3=5-5i.$$
$$\frac{w_2-w_1}{z_2-z_1}=\frac{3-(-3)}{1-(-1)}=\frac{6}{2}=3,$$
$$\frac{w_3-w_1}{z_3-z_1}=\frac{(5-5i)-(-3)}{(3+2i)-(-1)}=\frac{8-5i}{4+2i}\ne 3.$$
Значит, и в этом случае линейной функции не существует.
а)
$$ \begin{cases} 2^{2x-3y}\cdot 2^{4y-x}=16,\\ \log_3 x+\log_3 y=1 \end{cases} $$
Первое уравнение:
$$2^{2x-3y+4y-x}=2^4,$$
$$2^{x+y}=2^4,$$
$$x+y=4.$$
Второе уравнение:
$$\log_3(xy)=\log_3 3,$$
$$xy=3.$$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} x+y=4,\\ xy=3 \end{cases} $$
Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения $$t^2-4t+3=0,$$ откуда $$t=1$$ или $$t=3.$$
Ответ: $$ (1;3),\ (3;1). $$
б)
$$ \begin{cases} \left(\frac13\right)^{2x}\cdot 3^{y-1}=\frac1{81},\\ \log_2(2x)-\log_2 y=2 \end{cases} $$
Первое уравнение:
$$3^{-2x}\cdot 3^{y-1}=3^{-4},$$
$$3^{y-1-2x}=3^{-4},$$
$$y-1-2x=-4,$$
$$y=2x-3.$$
Второе уравнение:
$$\log_2\frac{2x}{y}=2,$$
$$\frac{2x}{y}=4,$$
$$2x=4y,$$
$$x=2y.$$
Подставим $$y=2x-3$$:
$$x=2(2x-3),$$
$$x=4x-6,$$
$$3x=6,$$
$$x=2,\quad y=1.$$
Ответ: $$ (2;1). $$
в)
$$ \begin{cases} 3^{3x-1}\cdot 3^{y-2x}=27,\\ \log_3 x+\log_3 y=1 \end{cases} $$
Первое уравнение:
$$3^{3x-1+y-2x}=3^3,$$
$$3^{x+y-1}=3^3,$$
$$x+y=4.$$
Второе уравнение:
$$\log_3(xy)=\log_3 3,$$
$$xy=3.$$
Получаем ту же систему:
$$ \begin{cases} x+y=4,\\ xy=3 \end{cases} $$
Следовательно, $$x=1,\ y=3$$ или $$x=3,\ y=1.$$
Ответ: $$ (1;3),\ (3;1). $$
г)
$$ \begin{cases} 4^x\cdot \left(\frac1{\sqrt2}\right)^{2-2y}=\log_{5^{1/4}} 5,\\ \log_4 y-\log_4 x=1 \end{cases} $$
Так как $$\log_{5^{1/4}} 5=4,$$ то первое уравнение имеет вид:
$$4^x\cdot \left(\frac1{\sqrt2}\right)^{2-2y}=4.$$
Преобразуем:
$$2^{2x}\cdot 2^{-(2-2y)}=2^2,$$
$$2^{2x-2+2y}=2^2,$$
$$2x-2+2y=2,$$
$$x+y=2.$$
Второе уравнение:
$$\log_4\frac{y}{x}=1,$$
$$\frac{y}{x}=4,$$
$$y=4x.$$
Тогда
$$x+4x=2,$$
$$5x=2,$$
$$x=\frac25,\quad y=\frac85.$$
Ответ: $$\left(\frac25;\frac85\right).$$