Упр.29.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) w = iz; в) w = -iz + 4;
б) w = 2iz; г) w = -2iz + (1 — i). Решите систему уравнений:
а) {3^(3x+y)-5^(x-2y)=2, 3^(3x+y)+5^(x-2y)=52};
б) {5^(2x-y)=(1/5)^(-1)·625^(3/4)/25, x+3y=3};
в) {2^(x+y)-3^(x-y)=7, 2^(x+y)+3^(x-y)=25};
г) {2^(x-y)=0,25^(-1)·8^(2/3)/2, x+y=1}.

1) Образ квадрата при линейных функциях

Вершины квадрата: $$z_1=0,\quad z_2=3i,\quad z_3=3+3i,\quad z_4=3.$$

а) $$w=iz$$

$$ w_1=i\cdot 0=0,\quad w_2=i\cdot 3i=-3,\quad w_3=i(3+3i)=-3+3i,\quad w_4=i\cdot 3=3i. $$

Образ — квадрат с вершинами $$0,\,-3,\,-3+3i,\,3i.$$

б) $$w=2iz$$

$$ w_1=2i\cdot 0=0,\quad w_2=2i\cdot 3i=-6,\quad w_3=2i(3+3i)=-6+6i,\quad w_4=2i\cdot 3=6i. $$

Образ — квадрат с вершинами $$0,\,-6,\,-6+6i,\,6i.$$

в) $$w=-iz+4$$

$$ w_1=-i\cdot 0+4=4,\quad w_2=-i\cdot 3i+4=7,\quad w_3=-i(3+3i)+4=7-3i,\quad w_4=-i\cdot 3+4=4-3i. $$

Образ — квадрат с вершинами $$4,\,7,\,7-3i,\,4-3i.$$

г) $$w=-2iz+(1-i)$$

$$ w_1=-2i\cdot 0+(1-i)=1-i,\quad w_2=-2i\cdot 3i+(1-i)=7-i, $$
$$ w_3=-2i(3+3i)+(1-i)=7-7i,\quad w_4=-2i\cdot 3+(1-i)=1-7i. $$

Образ — квадрат с вершинами $$1-i,\,7-i,\,7-7i,\,1-7i.$$

2) Решение систем уравнений

а)

$$ \begin{cases} 3^{3x+y}-5^{x-2y}=2,\\ 3^{3x+y}+5^{x-2y}=52. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 2\cdot 3^{3x+y}=54,\quad 3^{3x+y}=27=3^3, $$
$$ 3x+y=3,\quad y=3-3x. $$

Подставим во второе слагаемое:

$$ 3^{3x+y}-5^{x-2y}=2 $$
$$ 3^3-5^{x-2(3-3x)}=2 $$
$$ 27-5^{7x-6}=2 $$
$$ 5^{7x-6}=25=5^2 $$
$$ 7x-6=2,\quad x=\frac{8}{7}. $$

$$ y=3-3\cdot \frac{8}{7}=-\frac{3}{7}. $$

б)

$$ \begin{cases} 5^{2x-y}=\dfrac{\left(\frac15\right)^{-1}\cdot 625^{3/4}}{25},\\ x+3y=3. \end{cases} $$

Упростим правую часть первого уравнения:

$$ \left(\frac15\right)^{-1}=5,\quad 625^{3/4}=(5^4)^{3/4}=5^3, $$
$$ \dfrac{5\cdot 5^3}{25}=\dfrac{5^4}{5^2}=5^2. $$

Тогда

$$ 5^{2x-y}=5^2,\quad 2x-y=2. $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} 2x-y=2,\\ x+3y=3. \end{cases} $$

$$ x=2+y. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ 2+y+3y=3,\quad 4y=1,\quad y=\frac14. $$

$$ x=2+\frac14=\frac94. $$

в)

$$ \begin{cases} 2^{x+y}-3^{x-y}=7,\\ 2^{x+y}+3^{x-y}=25. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 2\cdot 2^{x+y}=32,\quad 2^{x+y}=16=2^4, $$
$$ x+y=4,\quad y=4-x. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 2^{x+4-x}-3^{x-(4-x)}=7 $$
$$ 16-3^{2x-4}=7 $$
$$ 3^{2x-4}=9=3^2 $$
$$ 2x-4=2,\quad x=3. $$

$$ y=4-3=1. $$

г)

$$ \begin{cases} 2^{x-y}=\dfrac{0{,}25^{-1}\cdot 8^{2/3}}{2},\\ x+y=1. \end{cases} $$

Упростим правую часть первого уравнения:

$$ 0{,}25^{-1}=4,\quad 8^{2/3}=(2^3)^{2/3}=2^2=4, $$
$$ \dfrac{4\cdot 4}{2}=8=2^3. $$

Тогда

$$ 2^{x-y}=2^3,\quad x-y=3. $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x-y=3,\\ x+y=1. \end{cases} $$

$$ 2x=4,\quad x=2,\quad y=1-2=-1. $$

Ответ

1) а) $$0,\,-3,\,-3+3i,\,3i$$; б) $$0,\,-6,\,-6+6i,\,6i$$; в) $$4,\,7,\,7-3i,\,4-3i$$; г) $$1-i,\,7-i,\,7-7i,\,1-7i$$.

2) а) $$\left(\frac87;\,-\frac37\right)$$; б) $$\left(\frac94;\,\frac14\right)$$; в) $$(3;\,1)$$; г) $$(2;\,-1)$$.